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江西省九江市 2025 届高三数学一模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | < 3, ∈ }， = { |3 2 8 3 < 0}，则 ∩ =( )
A. { 2, 1,0} B. { 2, 1,0,1} C. {0,1,2} D. { 1,0,1,2}
2 5.已知复数 = 2+ ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 5
3.已知角 的终边在直线 2 = 0 上，则 2 =( )
A. 4 B. 43 3 C.
3 D. 34 4
4.新华社北京 2024 年 9 月 8 日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文
献出版社出版，在全国发行.这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿 47 篇.九江市教育局准备
了 9 个相关问题(含问题 )到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了 6 名教师，每名教师相互独
立地随机抽取 3 个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等.记 表示抽到问题 的教师人数，则
=( )
A. 43 B. 4 C.
2
3 D. 2
5.已知向量 ， 满足 = 3，且| | = 3 2 ，则 在 上的投影向量为( )
A. 4 33 B.
4 3
3 C. 2 D. 2
6.将函数 ( ) = sin( + ) 3 的图象向左平移6个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则 的值可能是( )
A. 5 B. 8 C. 11 D. 13
7 .在棱长为 3的正方体 1 1 1 1中，点 在正方体内(包含边界)运动.若直线 1 与 所成角为6，
则动点 所围成的图形的面积是( )
A. 4 B.
3
2 C. 4 D.
8.定义在 上的函数 ( )满足：
①对任意 ∈ ，都有 (2 + ) = (1) ( )；
② (2 )的图象关于直线 = 1 对称；
③ (2) = 1， ( 32 ) =
2
2 ．
则下列说法正确的是( )
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A. ( + 2)是奇函数 B. ( + 1)是偶函数
C. ( 1 ) = 2 D. 2025 2 2 =1 ( 2 ) = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校高三年级第一次联考后，为分析该年级 1200 名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级
的 200 名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图.则( )
A. = 0.05
B.估计该年级学生物理成绩的均值为 72
C.估计该年级学生物理成绩的中位数为 72.5
D.估计该年级物理成绩在 80 分及以上的学生人数为 240
10 .已知函数 ( ) = 2+1， ∈ [ , ]，则下列说法正确的是( )
A. ( )是偶函数 B. ( )有 3 个零点
C. ( )的最大值为 1 D. ( )的最小值为 1
11.天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线 极其相似.已知 过坐标原点，且 上的点到 1(
1,0)与 2(1,0)两点的距离之积为常数 ，则下列说法正确的是( )
A. = 1
B. 1上点的纵坐标的最大值为2
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C.若双曲线 2 2 2 2 = 1 与 交于点 ，则△ 1
1
2的面积为4
D.若直线 = 与 有三个交点，则| | < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 , > 1,
12.已知函数 ( ) = 2 则 [ (2)] = ______．
2 + 2 + 1, ≤ 1.
13.已知抛物线 ： 2 = 8 ，⊙ ：( 2)2 + 2 = 1，过点 的直线 与 及⊙ 自上而下依次交于 ， ， ，
四点，则| | + | |的最小值为______．
14.如图，有一个触屏感应灯，该灯共有 9 个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一
个灯区，将导致该灯区及相邻(上、下或左、右相邻)的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状
态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则 , 灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 1， 2 = 2 + + 1．
(1)求 ；
(2)若 = 4，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， ⊥平面 ， ， 分别为
线段 ， 的中点， = ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
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17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点为 1， 2， ， ， 是椭圆 上不同的三点，四边形 1 2
是边长为 2 2的正方形．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使得△ 为等边三角形？若存在，求| |的长；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + ( , ∈ )，曲线 = ( ) 1 1在 = 2处的切线经过点(0, 2 )．
(1)求 ；
(2)若 ≥ ，判断 ( )的单调性；
(3)当 ≥ 0 时， ( ) ≥ 2 3 + 1，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知{ }是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前 项和为 ， 1 = 1，集合 = { | = 2 1, ∈ }，
中元素个数为 ，将 中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列{ }.
1
若 +
1 1
1
+ … < ，则称数列2
{ }为 数列．
(1)若 +2 = +1 + ， 2 = 1，写出一个 2～2 数列{ }；
(2)若{ }是公比为偶数的等比数列，证明：{ }为 ～2 数列；
(3)若 ～ 数列{ }是等差数列，求 的最小正整数．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
120
136
14 518
15解：(1)因为 = 1， 2 = 2 + + 1，
2+ 2 2 1+ 2 2 1 1
所以由余弦定理得： = 2 = 2 = 2，
∈ (0, ) = 2 又因为 所以 3；
(2) 由正弦定理得： = ，
3
1× 6
所以 = 2 = 2 = 2 ，
2
由 2 = 2 + + 1，得 2 + 1 = 0 = 1+ 3 = 1 32 ，解得 2 或 2 (舍去)，
1所以 △ = 2 =
1 × 1 × 1+ 3 × 3 = 3 32 2 2 8 ．
16解：(1)证明：在菱形 中，∠ = 60°，知△ 为正三角形，
又 为线段 的中点，则 ⊥ ，即 ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
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∴ ⊥ ，∵ = ， 为线段 的中点，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)如图，分别以直线 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， (0,0,2)， (0, 3, 0)，
设 = ( , , )为平面 的法向量，
= 0, 2 2 = 0,
由

得
= 0, 2 + 3 = 0.
令 = 3，则 = 2， = 3，
即 = ( 3, 2, 3)，
易知 = (0,0,1)为平面 的法向量，
∴ cos < , >= = 3 = 30| || ， | 10 10
由图可知二面角 为锐二面角，
故其余弦值为 30．
10
17解：(1) ∵四边形 1 2是边长为 2 2的正方形，∴ | | = | 1 2| = 4，
由对称性可知， ， 为短轴端点，
∴ 2 = 2 = 4， = = 2， = 2 2，
2 2
∴椭圆 的标准方程为 + = 1．8 4
(2)假设在 轴上存在一点 ，满足条件．
由对称性，不妨设 (0, 2)，设直线 的方程为 = 2( ≠ 0)，
代入椭圆方程 2 + 2 2 = 8 中，整理得(1 + 2 2) 2 8 = 0，
2
∴ =
8
1+2 2， =
4 2
2，1+2
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4 2设线段 中点为 ( 0, 0)，则 0 = 1+2 2， 0 = 1+2 2，
∴线段 1 2的中垂线方程为 = + 1+2 2，
∵△ 为等边三角形，∴ 在线段 2 2 的中垂线上，令 = 0，得 = 1+2 2，即 ( 1+2 2 , 0)，
= 1+2
2
，
1
又∵ ∠ = | + | 33，∴ tan
= | | = = 12 ，解得 =± ，3 1+ 2+2 |2 | 6
∴在 轴上存在一点 ( ± 2 3 )，使得△ 为等边三角形，且7 | | =
2 3．
7
18解：(1) ′( ) = 2 2 + 2 + ，
1
由题意可得， ( 2 ) = + 4 +

2，切线斜率 = (
1
′ 2 ) = 2 + + ，
又∵切线经过点(0, 12 )，
+ + 1
∴ 2 + + = 4 2 21 ，
2 0
解得 = 2；
(2)由(1)知 ( ) = 2 2 2 + ， ′( ) = 2 2 4 + ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 4( 2 1)，
当 < 0 时， ′( ) < 0， ′( )单调递减，当 > 0 时， ′( ) > 0， ′( )单调递增，
∴ ′( ) ≥ ′(0) = + 2 ≥ 0，
∴ ( )在 上单调递增；
(3)由题意得 2 2 2 + ≥ 2 3 + 1 对任意的 ∈ [0, + ∞)成立，
①当 = 0 时， ∈ ；
2 3+2 2 2 > 0 ≥ +1②当 时，原不等式等价于 ，
2 3+2 2 2 +1 (2 1)(2 2+2 +1 2 )
设 ( ) = ， 2 ，
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( ) = (2 1)(2
2+2 +1 2 )
则 ′ 2 ，
由(2)知，当 = 2 时， 2 2 2 2 > 1 恒成立，
∴当 ∈ (0, 12 )时， ′( ) > 0， ( )
1
单调递增，当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
则 ( ) 1 7 4 = ( 2 ) = 2 ，
故 7 4 的取值范围是[ 2 , + ∞)．
19解：(1)若 2 = 1，则 3 = 2， 4 = 3， 5 = 5， 6 = 8， 7 = 13，
此时 1 = 1， 2 = 2， 3 = 4， 4 = 7， 5 = 12， 6 = 20， 7 = 33，
∵ = 2，
∴ 1 = 1， 2 = 7
1 1
，此时 +1
< 2，
2
故满足条件的 2～2 数列{ }有：1，1，2，3 或 1，1，2，3，5 或 1，1，2，3，5，8(写一个即可)．
(2)证明：∵ { }为等比数列， 1 = 1 且 ∈ +，则公比 ∈ +，
∵ 为偶数，
∴ 1 1 = 1 = ( ≥ 2)为偶数，

=
1
1 ，且 恒为奇数此时 = ，
1 1
= ， = 1，
而 1 ≥ 1 1 1，故 ≤ 1，
1 1 1
∴ 1 + 1 + + 1 ≤ 1 + ( 1)( 1 1
[1 ( ) ]
+ 2 + +
1
1 ) = 1 + ( 1)

1 2 1 1
，

∴ 1 +
1 + + 1 ≤ 2 1 < 2，
1 2
故{ }为 ～2 数列．
(3)设数列{ }的公差为 ，则 ∈ +，当 = 1 时，
∵ = ( +1) 2 ，
∴ 1 2 1 1 = ( +1) = 2( +1 )，
∴ 1 + 1 + . . . +
1 < 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1
+ . . . + = 2[(1 2 ) + ( 2 3 ) + . . . + ( +1 )] = 2(1 2 +1
) < 2，
1 1
又∵ =1
= 1，
1
∴ 1 < 1 + 1 + 1 < 2，1 2
∴ 的最小正整数为 2，
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当 ≥ 2， ∈ +时，设{ }的前 项和为 ，则 ≥ ，
∴ 1 +
1 1 1 1 1
+ + < + + + < 2，1 2 1 2
∵ 1 = 1，1
∴ 1 < 1 + 1 + +
1 < 1 1 + + +
1 < 2，
1 2 1 2
∴ 的最小正整数为 2，
综上所述， 的最小正整数为 2．
第 9页，共 9页

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