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四川省资阳市 2025 届高三数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | = log2(2 )}，集合 = { | = 9 2}，则 ∩ 等于( )
A. [ 3,2) B. [0,2) C. [ 3,3] D. [0,3]
2 2 .已知复数 = 1 + 1 + ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
3 3 .函数 ( ) = cos( + 2 ) 的最小正周期和最大值分别为( )
A. 2，2 B. ，2 C. 2 ， 2 D. 4 ， 2
4.若直线 = 2 + 1 与双曲线 ： 2 2 = 1 的一条渐近线平行，则实数 的值为( )
A. 2 B. 12 C. 4 D.
1
4
5.如图，将底面半径为 1 高为 3 的圆锥截去体积为27的锥尖，剩余圆台的侧面积为( )
A. 8 10 9
B. 16 10 9
C. 16 2 9
D. 32 2 9
6.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休
年龄每 4 个月延迟 1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟
法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965 年 1 月 4 月 1965 年 5 月 8 月 1965 年 9 月 12 月 1966 年 1 月 4 月 …
改革后法定退休年 60 岁 60 岁 60 岁 60 岁
…
龄 +1 个月 +2 个月 +3 个月 +4 个月
那么 1974 年 5 月出生的男职工退休年龄为( )
A. 62 岁 3 个月 B. 62 岁 4 个月 C. 62 岁 5 个月 D. 63 岁
7.设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + 2 + = 2，若角 的内角平分线 = 2，则
的最小值为( )
A. 8 B. 4 C. 16 D. 12
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8 .已知 = ，定义运算@： ( )@ ( ) =
′( ) + 1
，其中 ′( )是函数 ( )的导数.
( ) ( )
若 ( ) = ( )@( + 1)，设实数 > 0，若对任意 > 0， ( ) ≥ 0 恒成立，则 的最小值为( )
A. 1 12 B. C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算： × .规定：① × 为同时与 ， 垂直的向量；② ，
， × 三个向量构成右手系(如图 1)；③| × | = | | | |sin , .如图 2，在长方体 1 1 1 1
中， = = 2 , 1 = 4 ,
则下列结论正确的是( )
A. × = 1
B. × = ×
C. ( + ) × 1 = × 1+ × 1
D. = ( × ) 1 1 1 1 1
10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正
方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，其中小正方形的面积为 4，大正方形面积为 9，则下列说法正
确的是( )
A. 5每一个直角三角形的面积为4
B. 3 3 = 2
C. 3 3 = 2
D. cos( ) = 59
11.如图，某工艺品是一个多面体 ， = = 4 2 ， = = = = 2 13 ，点 ∈ ，
∈ ， ， ， 两两互相垂直，且 ， 位于平面 的异侧，则下列命题正确的有( )
A.异面直线 与 9所成角的余弦值为13
B.当点 为 的中点时，线段 的最小值为 4
C.工艺品 的体积为 48 3
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D.工艺品 可以完全内置于表面积为 64 2的球内
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = (其中 = 2.71828…为自然对数的底数)的反函数为 ( )，则 (ln(log3 )) (3) = ______．
13.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、
思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 ： 2 + 2 = 2| | + 2| |
就是一条形状优美的曲线，曲线 围成的图形的周长是为______；若 ( , )是曲线 上任意一点，|4 + 3
18|的最小值为______．
14.九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从 1 到 9 九个数字，并且纵向、
横向、斜向三条线上的三个数字的和(这个和叫做幻和)都等于 15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：
“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中 5 位于居中位置，四个顶角为偶数，其
余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于 15 的九宫格数据，记事件 =“ + ≥ 9”，则 ( )
的值为 ．

5

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某消费者协会为了解 2024 年当地某市网购消费情况，随机抽取了 100 人，对其 2024 年全年网购消费金额
(单位：千元)进行了统计，所统计的金额均在区间[0,30]内，并按[0,5)，[5,10)，…，[25,30]分成 6 组，制
成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 的值，并估计居民网购消费金额的中位数；
(2)若将全年网购消费金额在 20 千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的 2 × 2 列联表，并判
断能否依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
( )2
附 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
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0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 2 2( > 0 且 ≠ 1)，当 = 0 时， ( ) ≥ 0．
(1)求实数 的值；
(2)若 (0)为 ( )的极小值，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
4 2
如图，已知正四棱锥 的体积为 3 ，高为 2．
(1)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(2)现有一蚂蚁从 点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动 1 个单位，求 2 秒后该蚂
蚁与点 的距离 的分布列及期望．
18.(本小题 17 分)
已知正项数列{ }满足 1 = 1， +2( +1 ) = ( +2 +1)( ∈ )，记 = 1 2 + 2 3 + … +
10 +1， 10 = 11．
(1) 1证明{ }是等差数列；
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(2)求数列{ }的通项公式；
(3)证明50 =1 > 3．
19.(本小题 17 分)
2 2
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 4 +

3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2，经过点 1且倾斜角为 (0 <
< 2 )的直线 与椭圆 交于 ， 两点(其中点 在 轴上方).连接 2， 2.将平面 沿 轴向上折叠，使二
面角 1 2 为直二面角，折叠后 ， 在新图形中对应点记为 ′， ′．
(1)当 = 3时，
①求三棱锥 1 2的外接球的表面积；
②求三棱锥 1 2的体积最大值；
(2)是否存在 (0 < < 2 ) △
15
，使得折叠后 ′ ′ 2的周长为 2？若存在，求 的值；若不存在，请说明
理由．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
121
134 2 11 5 2
1434
15解：(1)根据频率分布直方图所有小矩形的面积为 1，
可得 5 × (0.01 + 0.02 + 0.03 + 2 + 0.06) = 1，
解得 = 0.04，
直方图中从左到右 6 组的频率分别为 0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，
可得网购金额的中位数位于[15,20)区间内，
设中位数为 ，
则 0.05 + 0.1 + 0.2 + ( 15) × 0.06 = 0.5，解得 = 17.5，
故居民网购消费金额的中位数为 17500 元．
(2)根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为 100 × (0.2 + 0.15) = 35，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 47 18 65
合计 62 38 100
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零假设为 0：网购迷与性别无关
2
2 = 100×(15×18 20×47)62×38×35×65 ≈ 8.375 > 6.635，
依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，有充分证据推断 0不成立，
即可以依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
16解：(1)当 = 0 时， ( ) = + 2， ′( ) =
因为 (0) = 0，且 ( ) ≥ 0，
所以 ( )的最小值为 (0)
所以 ′(0) = 0
解 = 1，即 = ，
2
若 = ， ( ) = = 1 = ( +1)( 1)′ ，
当 < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 = 0 时， ( )取得极小值，也是最小值，即 ( ) = (0) = 0，
所以 = ；
(2)由(1)知 ( ) = + 2 2，
因为 ( ) = + 2 2 = ( )，
所以函数 ( )为偶函数， ≥ 0 时， ′( ) = 2 ，
若 ≤ 1，则 ′( ) ≥ 2 ，令 ( ) = 2 ，
则 ′( ) = + 2 ≥ 2 2 ≥ 0，当且仅当 = 0 时取等号，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增
所以 ′( ) ≥ ( ) ≥ (0) = 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
根据偶函数的对称性可得， ( )在( ∞,0)上单调递减，
故 (0)为极小值，故 ≤ 1 符合题意．
若 > 1，令 ( ) = ′( )，
2
′( ) = + 2 = 2 +1 ，
令 ′( ) = 0，解得 = + 2 1，所以 = ln( + 2 1)
因为 ′(0) = 2 2 < 0， ′(0) = 0，
当 ∈ (0, ln( + 2 1))时， ′( ) < 0， ′( )在(0, ln( + 2 1))上单调递减，
所以 ′( )在(0, ln( + 2 1))上均小于 0，
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所以 ( )在(0, ln( + 2 1))上单调递减，而 (0) = 0，故 > 1 不合题意，
综上， 的取值范围为{ | ≤ 1}．
17解：(1)设底面边长为 ，
此时1 × 2 × 2 = 4 2，3 3
解得 = 2，
连结 交 于点 ，作 ⊥ ，垂足为点 ，连结 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角的平面角，
1
因为 = 2， = 2 = 2，
所以 = 2 + 2 = 2，
则△ 是等边三角形， = 3，
1
所以 = 2 = 1，
1 3
此时 cos∠ = ， = 3 = 3
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 3；
3
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(2) 1易知蚂蚁从点 沿 ， ， ， 的概率均为4，
2 秒后蚂蚁移动了 2 个单位，侧棱长为 2，
所以若沿 移动，蚂蚁到达点 ，
若沿 ，蚂蚁到达点 ，
若沿 ，蚂蚁到达点 ，
若沿 蚂蚁到达点 ，
因为 = = 2， = 2 2，
所以 得所有可能取值为 0，2，2 2，
所以 ( = 0) = 1 1 14； ( = 2) = 2； ( = 2 2) = 4，
则 的分布列为：
0 2 2 2
1 1 1
4 2 4
故 E( ) = 0 × 1 1 1 24+ 2 × 2 + 2 2 × 4 = 1 + 2 ．
18解：(1)证明：因为 +2( +1 ) = ( +2 +1)，
1 1 2
所以 +1 1 = 1
+1
，即
+1 + +1 = 2，即 + = ， +2 +2 +2 +1
1
所以数列{ }为等差数列；
(2) 1设等差数列{ }的公差为 ，
1
因为 1 = 1，所以 = 1 + ( 1) ，则
1
=
1+( 1)
，
1 1 1 1
所以 +1 = [1+( 1) ](1+ ) = [ 1+( 1) 1+ ]，
= + + + = 1 (1 1所以 1 2 2 3 +1 1+ )，
则 10 =
1
(1
1 10 1
1+10 ) = 11，解得 = 1，所以 = ；
(3)证明：因为 > ln( + 1)( > 0)，
所以50 1 50 1 50 +1 =1 > =1 ln (1 + ) = =1 ln ，
又因为50 =1 ln
+1 = ln 2+ ln 3 4 51 3 1 2+ ln 3 + + ln 50 = 51 > = 3．
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19 解：(1)①当 倾斜角为3时，△ 1 2为等边三角形，边长为 2，
∴△ 1 2外接圆半径 1 =
2
2 60 =
2 3
3 ，
3 3 3
假设∠ 1 2 = ，则 =
1 2 13 5 3
1+ = 3 3 = 11 , =
5 3
，
1 2 1+ 3× 1413
∴△ 2 141 2外接圆半径 2 =
2×5 3
= 5 3，
14
∴ = 2 + 2 | 三棱锥 外接球半径为 1 2|
2 4 196 221
1 2 1 2 4 = 3+ 75 1 = 75，
∴ 221 884三棱锥 1 2的外接球的表面积为 = 4 2 = 4 × 75 = 75 .
②设直线 方程为 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 > 0， 2 < 0，
= 1
联立 3 2 + 4 2 = 12，
得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
= 36 2 + 36(3 2 + 4) = 144( 2 + 1) > 0，
∴ 1
9
2 = 3 2+4，
平面 1 2 ⊥平面 1 2 ，
∴ 1 1 1 1 2 = 3 2 × 2( 2) 1 = 3 =
3 3
1 2 3 2+4 ≤ 4，
∴ ( 3 1 2) = 4．
(2)如图建系，翻折前原先| | = ( 1 2)2 + ( 1 22) ，
翻折后， ′( 1, 1, 0)， ′( 2, 0, 2)，
∴ | ′ ′| = ( 21 2) + 2 21 + 2，
| | + | | + | | = 8, | | + | | + | | = 15由 2 2 ′ ′ 2 2 2，∴ | | | ′ ′| =
1
2，
| ( 21 2) + ( 1 2)2 ( )2 2 21 2 + 1 + 2 =
1
2①，
2 1 2 = 1，
( 1 2)2+( 1 2)2+ ( 1 2)2+ 2 2
2
1+ 2
( )21 2 + ( 1 2 2 2 22) + ( 1 2) + 1 + 2 = 4 1 2②，
1 2
联立①② | | = 2 1+ 2 12 +1 1 18 2 284 1 2 3 2+4 = 4 + 3 2+4 = 45，
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∴ =± 28 =± 45 =± 3 3545， 28 14 ，
∴存在 (0 < < 2 )
3 35
，使得 = 14 ．
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