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四川省绵阳市 2025 届高三数学二诊试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = (2 )，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2
2.已知集合 = {( , )| = }， = {( , )| 2 + ( 1)2 = 1}，则集合 ∩ 中元素的个数为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.不确定
3.直三棱柱 1 1 1中， = = 1， ⊥ ，则 1与 所成的角的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.若直线 1： + 2 3 = 0 与直线 2： 2 + 1 = 0 ∈ 平行，则这两条直线间的距离为( )
A. 55 B.
2 5
5 C.
4 4 5
5 D. 5
5.已知等比数列 的前 项和为 ，若 8 6 = 7 3，则公比 =( )
A. = 2 B. = 12 C. = 2 D. =
1
2
6.已知过点 (2, 1)的直线 与抛物线 2 = 2 交于点 ， 两点，若 ， 的纵坐标分别为 1， 2，则 1 +
1 2 + 1 =( )
A. 4 B. 3 C. 0 D. 2
7.已知正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 4
2
，可在该正四棱台中放入的最大球的体积为 3 ，则
点 1到平面 1 1的距离为( )
A. 2 6 6 33 B. 2 C. 2 D. 3
8.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( )是定义在 上的偶函数，若函数 ( ) ( )的值域为 4,1 ，则函
数 (2 ) + (2 )的最小值为( )
A. 16 B. 4 C. 1 D. 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数 = sin + 3cos ， = 3sin cos ，则( )
A. 与 的图象有相同的对称轴
B. 与 有相同的最小正周期
C. 将 图象向右平移2个单位，可得到 图象
D. 图象与 图象在 0, 上只有一个交点
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10.设函数 = ln , ∈ ，则下列说法正确的是( )
A. 一定存在单调递减区间
B.存在 ， ，使得 没有最值
C.若 既有极大值，又有极小值，则 > 2
D.令 = 2， = 3，当 0 < < 3 时， 6 >
2 2
11.已知圆 1： 2 + 2 2 = 1，双曲线

2： 2 2 = 1 > 0, > 0 的左，右焦点分别为 1， 2， 为双
曲线 2右支上的一点，直线 2的斜率恰好为该双曲线的离心率 ，且 1 2为直角三角形，则( )
A. 2 的值唯一 B. 2 = 1
C. 1 < < 2 D. 2的渐近线与 1共有 4 个公共点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 2,1 ， = 3, 3 ，则 = ．
13 .已知 + = 2，tan + tan = 3，则 cos = ．
14.在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是
一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为 2 的半正多面体是将
一个棱长为 6 的正四面体切掉 4 个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知 ， ， ， 为该半正多面
体的四个顶点，点 为其表面上的动点，且 //平面 ，则 点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + = 2 cos ．
(1)若 = 2，求 ；
(2)若 = 1， = 3，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = + 1．
(1)若 = 0 时，求曲线 在 1, 1 处的切线方程；
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(2)若 1 < < 时， 在区间 0,1 上的最小值为 3 2ln2，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
1 已知数列 是公差大于 0 的等差数列，数列 的前 项和为 ． +1 3 +1
(1)求数列 的通项公式；
, = ,
(2)设 =

2 , < <
∈ ．
+1
( )试写出 1， 2， 3的值；
( )求数列 的前 20 项和 20．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， 是边长为 2 的等边三角形， ⊥ ，点 为 的中点，且 = = 2，
= 2 2．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若二面角 3的平面角的余弦值为 3 ，求三棱锥 的体积；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题 17 分)
2 2
如图，已知面积为 8 3的矩形 ，与坐标轴的交点 , , , 是椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 的四个顶
1
点，且该椭圆的离心率为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
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(2) 为坐标原点，过下顶点 的直线与 轴相交于点 (不同于 )，与直线 相交于点 ，与椭圆 相交于点 ，
直线 与直线 相交于点 ．
( ) 证明： = ；
( )设线段 的中点为 , , 为椭圆 上的两点，且直线 ， 与椭圆 都仅有一个公共点， ⊥ ，垂足为 .
探究：是否存在定点 ，使得 为定值 若存在，求点 的坐标以及此定值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
123
1323
143 + 2 7
15解：(1)已知 + = 2 cos ，由正弦定理可得 sin + sin = 2sin cos ，

因为 = 2，所以 sin = 1，此时 sin + sin = 2cos ，

在直角△ 中， = 2 ，所以 sin = cos ，
那么 cos + sin = 2cos ，移项可得 sin = cos ，
sin
根据正切函数的定义 tan = ，因为 sin = cos ，且 是三角形内角，所以 tan = 1 ，从而得出 = 4；cos
(2)已知 = 1， = 3，且 + = 2 cos ，所以 cos = 2，
2 2 2 2 2 2
根据余弦定理 cos = + 2 ，将 cos = 2
+
代入可得 2 = 2，
化简可得 2 + 2 2 = 4 ，
将 = 1， = 3 代入 2 + 2 2 = 4 ，得到 1 + 2 9 = 4 × 1，
即 2 = 12，因为 > 0，所以 = 2 3．
16解：(1)当 = 0 时， ( ) = + 1, (1) = + 1,且 ′( ) = ，
所以 = ′(1) = ，
故切线方程为 ( + 1) = ( 1)，即 + 1 = 0；
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(2) ∵ ′( ) = , ∈ [0,1], ∴ ∈ [1, ]，
由 1 < < ，存在 0 ∈ 0,1 ，使得 ′( 0) = 0，即 0 = 0 = ln ，
当 ∈ 0, 0 时， ′( ) < 0，此时 单调递减；
当 ∈ 0, 1 时， ′( ) > 0，此时 单调递增，
故 ( )min = ( 0) = 0 0 + 1 = ln + 1 = 3 2ln 2，
( ) = ln + 1(1 < < ), ′( ) = 1 (1 + ln ) = ln < 0，
故 在 1, 单调递减，则 2 = 3 2ln2，
故 = 2．
17解：(1)设 的公差为 ，
1 1
令 = 1，得 = 4，故 1 2 = 4,即 1( 1 + ) = 4，1 2
令 = 2 1 1 2，得 + = ，故 2 3 = 28，即( 1 + )( 1 + 2 ) = 28，1 2 2 3 7
由于 > 0，则解得 1 = 1, = 3，
故数列 的通项公式为 = 3 2；
(2)( )当 = 1, 1 = 1，故 1 = 1，
= 1 时，1 = < 2 < 3 < +1 = 4，
所以 2 = 21 = 2, 3 = 21 = 2；
( )由题意可知： < + 1 < + 2 < +1，
当 = 时， = ，则 = , ∴ 3 2 = ，
当 = + 1 时， +1 = 2 ，则

+1 = 2 ，∴ 3 1 = 2 ，
当 = + 2 时， +2 = 2 ，则 +2 = 2 ，∴ 3 = 2 ，
所以 3 = 1 + 2 + 3 + + 3
= ( 1 + 4 + + 3 2) + ( 2 + 5 + + 3 1) + ( 3 + 6 + + 3 )
= (1 + 2 + + ) + (21 + 22 + + 2 ) + (21 + 22 + + 2 )
( + 1) 2(1 2 )
= 2 + 1 2 × 2
= ( +1) +22 + 2 4，
= 7×8因此 9 720 21 21 = 2 + 2 4 2 = 408．
18解：(1)
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证明：如图，取 的中点 ，延长 交 于 点， 是边长为 2 的等边三角形，则 ⊥ ，
在 中，已知 = = 2，且满足 2 + 2 = 2，
根据勾股定理， ⊥ ， 则 为 中点，
又 为 的中点，则 // ， ⊥ ，则 ⊥ ，
又 , 平面 ， ∩ = ，则 ⊥平面 ，
平面 ，所以 ⊥ ；
(2)由(1)可知 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，
为 的中点，且 = 2，可设点 1, , ( > 0)，
已知 = (2,0,0)， = (1, , )，
= 2 = 0
设平面 的法向量为 11 = ( , , )，由 ，不妨令 = ， 1 = + + = 0
则平面 的一个法向量为 1 = (0, , )，
又平面 的一个法向量为 2 = (0,0,1)，
根据向量夹角公式|cos 1, | =
| 1 2| = | | 32 | 1|| |
=
2 1× 2+ 2 3
又因为| | = 1 + 2 + 2 = 4，则 2 + 2 = 3，解得 = 2，
因为 为 的中点，所以点 到平面 的距离为 2 2，
在 中 = = 2，满足 2 + 2 = 2，
1 1
所以 的面积为2 × × = 2 × 2 × 2 = 2，
根据三棱锥体积公式，三棱锥 的体积 = 13 × 2 × 2 2 =
4 2
3 ；
(3)因 // ，则直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角，
设该角为 ，已知 = (1,1,0)，则 = (0,1 , )，
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sin = | 1| = | (1 ) | | |根据线面角的正弦值公式
|
=
|| 1| 3 (1 )2+ 2 3 4 2
，
22 3
2 1 2 3 1 ( 2)2 +4( 2)+ 1
= 3(4 2 ) = 3(4 2 ) = 6 × 2 = 6 × 2
= 16 × [(2 ) +
1
2 4]，
因为 = 2，故 < 2，
1 1 1
根据基本不等式得 2 6 × [2 (2 ) 2 4] = 3，当且仅当 = 1 时，等号成立，所以 sin 的最
3
大值为 3 ，
3
即直线 与平面 所成角正弦值的最大值为 3 ．
= 2 3
19解：(1)由题意可得 = =
1 ，解得 = 2, = 3, = 1，
2
2 2 = 2
2 2
故椭圆方程为 4 + 3 = 1；
2
(2) , 0 +
2 2 3 3
设 0 0 ，则
0 0
4 3 = 1，故 = ， 20 4
0, 3 , 0, 3 ，
设直线 , 的斜率分别为 1, 2，
则 0+ 3 0 31 = , 2 = ，0 0
+ 3 3 2 3 3
故 0 0 01 2 = = = ，0 0 20 4
( )证明：由于 2, 3 , 2,0 ，则 = 3, | | = 2，
直线 的方程为 = 1 3,令 = 0,则 =
3 3
，故 , 0 ,1 1
3
所以| | = | | ,1
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直线 的方程为 = 2 + 3,令 = 2 则 = 2 2 + 3，故 2,2 2 + 3 ，
所以 = 2 2 ，
| | | | = 3 3| | 3 =1 |
，
1|
| | | | = 2 × 2| 2| = 4| 2| = 4 ×
3
4| | =
3
1 | 1|
，
故| | | | = | |·| | | | | |，即| | = | |；
( ) 2 2 3 4存在定点 5 , 5 ，使得 为定值5，理由如下：
设 ( 0′, 0′), ( 1, 1), ( 2, 2)，
①当过椭圆上点 1, 1 的有斜率时，设直线 ： = + ，
2 2
联立 = + 与椭圆方程 2 24 + 3 = 1，可得 4 + 3 + 8 + 4
2 12 = 0，
由于直线 与椭圆只有一个公共点，故 = 8 2 4 4 2 + 3 4 2 12 = 0，
化简得 4 2 2 + 3 = 0，
所以 = 4 1 4 2+3 =
4 3
，代入到 = + 可得 1 = ，
3
所以 = 14 =
1
4 ，1
= 3 1 + 3 1 从而直线 ： 1 4 ，即 4 + 3 = 1(※);1 1
②当过 1, 1 的直线 斜率不存在且与椭圆只有一个交点时， ： =± 1 =± 2 也满足(※)，
, 2 + 2 同理可得当过 2 2 且与椭圆只有一个交点的直线方程为 4 3 = 1，
′ ′ ′ ′
由于两直线均经过点 ，故 1 04 +
1 0 2 0 2 0
3 = 1, 4 + 3 = 1，
′ ′ 故直线 方程为： 0 04 + 3 = 1，
由( )可知 的方程为 = 1 3,令 = 3则 =
2 3 2 3 ，故 , 3 ,1 1
又 2,2 2 + 3 ，
则 的中点 3 3 + 1, 3 + 2 ,即 0′ = + 1, 0′ = 3 + 2 = 3
3
1 1 4
，
1
直线 方程为 3 3 3 + 1 + 4 3 4 12 = 0，1 1
3
即 3 + 3 + 4 3 12 = 0，1
3 = 0 4 4 3
令 ，解得 = , = ，
3 + 4 3 12 = 0 5 5
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故直线 4 4 3恒过点 5 , 5 ，又 ⊥ ，
2 2 3 4
故 在以 为直径的圆上，即 5 , 5 ，使得 为定值5．
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