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北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.3 第1课时 线段的垂直平分线
3 线段的垂直平分线
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
如图， ，， ，则 ( ).
C
A. B. C. D.
第贰章节
新课导入
新课导入
作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上任取一点 P，连结 PA、PB.
量一量 PA、PB 的长，你能发现什么？
A
B
M
N
C
P
第叁章节
新知探究
新知探究
线段垂直平分线的性质
1
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
A
P
B
C
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
你能证明这一结论吗？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，
点 P 在 l 上.
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
P
A
B
l
C
验证结论
∴ PA = PB．
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
又 AC = CB，PC = PC，
∴∠PCA =∠PCB．
线段垂直平分线的性质定理：
归纳总结
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
典例精析
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
① 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点，
显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上；
② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
归纳总结
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1.如图，在中，，是上的一点，是 上一点，且
，若，则 的长是___.
2
2.如图，， ，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几
名同学探究出关于它的如下结论：
；； ；
.其中正确结论的序号是________.
①②③
3.如图，已知是线段的垂直平分线，求证： .
证明：是线段 的垂直平分线，
， ，
在和中， ，
， .
4.在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点 ，
连接，若 ， ，则 的度数是_____.
(第4题)
5.如图, ，若和分别垂直平分和，则 的
度数是_____.
(第5题)
6.如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知
,是两格点，如果也是图中的格点，且使得 是
以为底的等腰三角形，则点 的个数有( ).
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第伍章节
课堂小结
课堂小结
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互逆命题
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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