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北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定
2 直角三角形
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
1.在 中，不能判断它是直角三角形的是( ).
C
A. B.
C. D.
2.在中， ， ，则 的度数为_____.
第贰章节
新课导入
新课导入
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.
A
B
C
第叁章节
新知探究
新知探究
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
直角三角形的性质与判定
1
△ABC 是直角三角形，
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗 为什么
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC 是直角三角形
定理1 直角三角形的两个锐角互余.
定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
∴∠C = 90°.
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
2
a
c
b
勾
弦
股
勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
证法1 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
证明欣赏
c
∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2
c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ，
c 2 = a 2 + b 2，
∴ a 2 + b 2 = c 2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　 　　 ．
c 2
4× ab + ( b - a ) 2
证法2 赵爽弦图
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
A
B
C
已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC 2 = AB 2.
求证：△ABC 是直角三角形．
例1 证明此命题：
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自
己写出证明过程吗？
证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，
∴ AB 2 = DF 2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
定义总结
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4)
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
互逆命题与互逆定理
3
合作探究
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系
第三个定理和第四个定理呢 与同伴交流.
观察上面三组命题，你发现了什么
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
说出下列命题的条件和结论：
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
想一想
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
原命题：2 = 2，22 = 22；
逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2
此原命题是真命题；逆命题是假命题.
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
成立
不成立
练一练
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2” “定理3与定理4” 都为互逆定理.
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
归纳总结
注
意
第肆章节
随堂练习
随堂练习
(第1题)
1.如图，直线，且于点 ，若
，则 的度数为( ).
B
A. B. C. D.
(第2题)
2.把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形
如图所示.若 ，则 为( ).
B
A. B. C. D.
3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的
顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图.
(1)在图1中画一条线段，使 ；
解:如图1，，则线段 即为所求作；
(2)在图2中画一个直角 ，使三边长
都为无理数，且各边都不相等.
解:如图2， ，
，
，
，
是直角三角形，即 即为所求作.
4.学科实践
项目主题 为校园空地设计创意花坛
项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛
实践工具 卷尺、铅笔等
设计说明 ________________________________
如图，是校园里的一块空地，线段， 是将该空
地分割成两块区域的花栏，其中 区域内种植矮牵牛，
另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆
续表
测量数据 通过测量得到 ，， ，
，
根据以上信息，解决下列问题：
续表
(1)求所需篱笆的总长(接口处忽略不计)；
解:在中， ，， ，由勾股定理得
.
.
答：所需篱笆的总长是 .
(2)若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇
所需的费用.
解:在中，，， ，
， ，
.
是直角三角形，其中 .
.
元.
答：种植三色堇区域的费用总共需要5760元.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题
互逆命题
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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