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北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.3 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
3 线段的垂直平分线
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
如图，在中，是 的垂直平分线，
且，分别交于点和， ，
，则 为( ).
C
A. B. C. D.
第贰章节
新课导入
新课导入
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三条边的垂直平分线交于一点P
第叁章节
新知探究
新知探究
三角形三边的垂直平分线的性质
1
合作探究
已知：
求证：
B
C
A
P
如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB = PC.
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l 是 AB 的垂直平分线
m 是 BC 的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的垂直平分线上
分析：
证明：连接 PA，PB，PC.
B
C
A
P
l
n
m
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
∴ PB = PC.
∴PA = PB，PA = PC
( 线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等 ).
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
A
B
C
P
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
试一试
做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
Al
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
Al
D
C
B
A
a
h
Al
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
尺规作图
2
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
　　这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
例 已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
l
D
C
B
a
h
A
作法：1. 作线段 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC
于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC.
则△ABC 为所求的等腰三角形.
典例精析
(1) 先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B.
B
A
作法：
2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
● P
C
D
(3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l
过 P 的垂线.
(2) 分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长
为半径作圆，相交于 C、D 两点.
试一试
回顾导入
食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.请画出这个位置.
解：如图所示，
连接 AB、BC、AC，分别作三条线段的垂直平分线，即点 P 为所求.
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1.如图，在中， ，
， ，观察图中尺规作图的痕
迹，则 的长为( ).
C
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，在中，， .
(1)用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点 ；
(保留作图痕迹，不要求写作法)
解:如图，是 的垂直平分线.
(2)求 的周长.
解:是 的垂直平分线，
，
的周长 ，
的周长 ，
.
的周长是16.
3.如图是一块三角形的草坪，，， 点处各
种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要
使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口
的位置应选在( ).
A
A.三边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点 D.三条中线的交点
4.下列尺规作图，能判断是 边上的中线的是( ).
A
A. B. C. D.
5.如图,在中， ， .
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点 ；
(不写作法，保留作图痕迹)
解:如图所示，就是要求作的 边上的中垂线；
(2)连接，求证：平分 .
证明： ，
，
，
，
是 边上的中垂线，
，
， ，
，
，平分 .
6.金秋十月，某校体育运动会顺利举行，运动员们
在赛场上奋力拼搏，老师们全力提供服务保障.如图，
过道上，两点相距，， 为两个班级，
于点，于点 ，为方便同学们接
取饮用水，现要在过道上临时设立一个饮水站，使得， 两个班级
到 站的距离相等.
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规画出饮水站 的位置；
(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
解：如图，连接，作线段的垂直平分线，交 于
点，则点 即为所求.
(2)已知,，求饮水站到点 的距离.
解：由题意得， ，
设，则 ，
， ，
，
在 中，
由勾股定理得 ，
在 中，
由勾股定理得 ，
， ,
,
即 ，
解得， .
答：饮水站到点的距离为 .
第伍章节
课堂小结
课堂小结
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，作这个等腰三角形：
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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