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北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.4 第1课时 角平分线的性质
4 角平分线
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
，， 三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳
子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏
公平，则凳子应放的最适当的位置是在 的( ).
B
A.三边中线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点
第贰章节
新课导入
新课导入
什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线是这个角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？
第叁章节
新知探究
新知探究
在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
1
对此你能得出什么结论？动手证一证.
C
A
O
B
C
D
E
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
结论证明
B
A
D
O
P
E
C
1
2
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
知识要点
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
典例精析
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的判定
2
类比探究
它是真命题吗？你能证明吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
逆命题
P
A
O
B
C
D
E
已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
结论证明
B
A
D
O
P
E
C
1
2
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1) 位置关系：点在角的内部；
(2) 数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
知识要点
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
典例精析
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三
角形中，如果一个锐角等于30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半) .
例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：
过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.
∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上，
FG⊥AE，FM⊥BC，
∴ FG＝FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC，
∴ FM＝FH.
∴ FG＝FH.
∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
O
N
M
A
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示.
P.
回顾导入
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
归纳总结
第肆章节
随堂练习
随堂练习
(第1题)
1.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，
只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角
的平分线.如图：一把直尺压住射线 ，另一把直
尺压住射线并且与第一把直尺交于点 .其理论
依据是______________________________________
___________.
在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
(第2题)
2.如图，在中， ， 平分
，交于点，，垂足为点 ，若
，则 的长为( ).
A
A.3 B. C.4 D.6
3.如图，平分，点在上，于，，点
是射线上的动点，则的最小值为___ .
5
4.如图，在中，的平分线交 于
点,过点作交于点 .
(1)求证： ;
证明：是 的平分线，
, ,
, ,
.
(2)若 , ,求 的度数.
解： , ,
, ,
, .
5.如图，在中， ，
，，点为上的点， ，
垂足为点， .
(1)求证：为 的平分线；
证明： ，
，，又 ，
为 的平分线；
(2)求 的度数.
解： ， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
由(1)可得为 的平分线，
，
.
第伍章节
课堂小结
课堂小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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