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(共32张PPT)
北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线
4 角平分线
目录
壹
课前复习
贰
新课导入
叁
新知探究
肆
随堂练习
伍
课堂小结
第壹章节
课前复习
课前复习
如图，在中， ，的平分线 交
于点，，，则点到 的距离是
( ).
D
A.7 B.2 C.4 D.3
第贰章节
新课导入
新课导入
作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
　　发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
第叁章节
新知探究
新知探究
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF.
证明结论
D
E
F
A
B
C
P
N
M
三角形的内角平分线
1
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
归纳总结
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和
为 .
M
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
12
E
N
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC.
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
A
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180° － 70°＝110°.
第肆章节
随堂练习
随堂练习
1.如图，在中，到和距离相等， ， ，
则 度数为_____.
(第1题)
2.如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出
点，则与 的数量关系是____________.
(第2题)
3.在中， ，点在上，于点 ，且
，连接.若 ，则的度数为____ .
35
4.在中， ，平分交
于点，垂直平分线段 .
(1)求 ；
解:是线段 的垂直平分线，
， .
平分 ，
.
，
，
.
(2)若，，求 的长.
解: ， ，
，平分 ，
，
，
.
5.如图，在中，， .
(1)用直尺和圆规作的平分线交于点 ；(保留作图痕迹，不
要求写作法)
解:如图所示, 即为所求.
(2)在(1)中作出的平分线后，求 的度数.
解:， ，
，
的平分线 ，
，
.
6.如图，是的角平分线，于， 的面积是
，，，则___ .
5
7.如图，已知为的平分线，点在上，于 ，
于，且.求证: .
解:于，于 ，
且， ，
在和中，
，
.
8.如图，已知的周长是30，， 分别平分
，，于点，且 ，则
的面积为( ).
D
A.30 B.35 C.40 D.45
第伍章节
课堂小结
课堂小结
　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．
人教版数学八年级下册
汇报人：孙老师
汇报班级：X级X班
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