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云南省昭通市 2025 届高三数学一诊试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < 7}， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. { 1,0,1,2} C. {0,1,2} D. {1,2}
2 2 .已知复数 = 1+ ，则 2 =( )
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
3.已知向量 ， 是单位向量，且| + | = | |，则| + 2 |为( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
4 3.一组数据按从小到大的顺序排列为 1，3，8， ，14，16，若该组数据的中位数是极差的5，则该组数据
的第 60 百分位数是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5.直线 ：(2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0 与圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 9 的公共点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 成 2
6.若函数 ( ) = + ，满足 ( ) ( ) ( ) > 0(0 < < < )，若函数 ( )存在零点 2，则( )
A. 0 < B. 0 > C. 0 < D. 0 >
7.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为 12 3，则
该正四棱台的高为( )
A. 2 2 B. 2 C. 6 D. 3
8.已知函数 ( ) = 3 + 2 2 + (2 2 7) + 1( > 0, > 0)在 = 1 处取得极值，则( )
A. 2 + 2 = 3 B. = 1 是 ( )的极大值点
C. (1) ∈ ( 3, + ∞) D. + 的最大值为 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是( )
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A. ( ) 的最小正周期为 B. = 6
C. ( 5 12 , 0)是函数 ( )的一个对称中心 D. ( )
1
在区间 的最小值为 2
10.已知 ( 3, 0)， ( 3, 0)， (0,1) 4，动点 满足 与 的斜率之积为 3，动点 的轨迹记为 ，过点
的直线交 于 ， 两点，则下列说法正确的是( )
2 2
A. 的轨迹方程为 4 + 3 = 1( ≠± 3)
B. | |的最大值为 3
C. | | 3的最小值为2
D.过点 (0, 1)的直线垂直 交曲线 于 ， ，则△ 的周长为 8
11.函数 ( )的定义域为 ， ( )在区间[0,2]上单调递增，且满足 ( ) + ( + 4) = 2 ( 2)，函数 = ( +
2)为奇函数，下列结论正确的是(注 2 = 0.6931)( )
A. (2024) = 0 B. (1) + ( 72 ) > 0
C. (3) > (2 448) D. (4 1) > (ln
1
8 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数列 满足 +1 = 2 ( 为正整数)，且 4与 6的等差中项是 20，则首项 1 = ．
13 1+ 1.已知1 tan = 2，则sin
4 + cos4 = ______．
14.如图，算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上
两珠，每珠作数五，果下五珠，每珠作数一、算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在十位档拨
一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字 65.若在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨
一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数有______个.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，已知 = 2， = 2 .
(1)若 = 4，求△ 的面积；
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(2)若 + 22 = 1，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = ( 2) + + ( ∈ )．
(1)若 = 1，求函数 ( )的单调区间；
(2)若对于任意 ∈ (1, + ∞)，都有 ( ) > 1 成立.求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为菱形， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 = 2， = 2， = ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
为提升大学生环保意识，率固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某生物多样性保护与绿色发展基
金会举办了“2024 年大学生环保知识竞赛”，为了了解大学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 2000 名
大学生的竞赛成绩(单位：分)，并以此绘制了如图的频率分布直方图．
(1)从竞赛成绩在[40,60]内的学生中随机抽取 80 名学生，用 ( )表示这 80 名学生中恰有 名学生竞赛成绩
在[40,50]的概率，其中 = 0，1，2，…，80.以样本的频率估计概率．
①从这 80 名学生中任取一人，求这个学生的竞赛成绩在[40,50]的概率；
②当 ( )最大时，求 ．

(2)若学生中男生 人，其成绩平均数记为 ，记方差为 2 ，女生为 人，其成绩平均数为 ，记方差为 2 ，把

总体样本数据的平均数记为 ，方差记为 2，证明： 2 = 2 + [ + ( )
2] + + [
2
+ ( )2]．
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19.(本小题 17 分)
从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另
一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广范应用.如图，已知
2
双曲线 ： 2 3 = 1， 为坐标原点， 1， 2分别为左、右焦点， 1， 2分别为左、右顶点，由其光学性
质知，由 2发出的光线经双曲线 上一点 0(2,3)反射后，反射光线的反向延长线过点 1，连接 0 1交双曲
线于 1， 1也是一个反射点，连接 1 2交双曲线于 2，则 2也是一个反射点，再连接 2 1，交双曲线于 3，
则 3也是一个反射点，…，由各反射点连线得到折线 1 2 2 3 3 4….设第 个反射点为 ( , )( =
0,1,2,3, …). (1)求直线 1 2的斜率；
(2)证明：当 为偶数时，直线 +1与直线 +2的斜率之积为定值；
(3)当 为奇数时，过点 向 轴作垂线，垂足为 ，记△ 2与△ 1面积的比值为 ，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.4150
14.50
15.解：(1)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
则 4 = 2 2 + 2 2 2 2 × 22 ，解得 = 2，则 = 2 2，
则 1△ = 2 =
1 2
2 × 2 2 × 2 × 2 = 2；
(2)因为 = 2 ，由正弦定理得 = 2 ，
+ 2又 2 = 1，解得 =
1
2， =
2
2 ，
由 = 2 ，可得 > ，
= =

故 6 6
7
或
= = 3
，则 = 12或 = 12，
4 4

由正弦定理得： =

= ，
若 = 12，则 = 6 + 2， = 2 + 2 3，
故 △ = 4 + 2 3 + 6 + 2；
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= 7 若 12，则 = 6 2， = 2 3 2，
故 △ = 2 3 + 6 2．
16.解：(1)若 = 1，
则 ( ) = 3 + 2 ( > 0)，
2
( ) = 3 + 1 + 2 = 3 +2 = ( 1)( 2)′ 2 2 2 ，
令 ′( ) > 0，可得 0 < < 1 或 > 2；
令 ′( ) < 0，可得 1 < < 2，
所以函数 ( )的单调增区间为(0,1)和(2, + ∞)，单调减区间为(1,2)．
(2)因为对于任意 ∈ ( , + ∞)，都有 ( ) > 1 成立，
1
所以对于任意 ∈ (1, + ∞)，都有 ( ) > 0 成立，
即对于任意 ∈ (1, + ∞)，( 2) + > 0，
> 0 ∈ (1, + ∞) ( 2) > 因为 ，所以对于任意 ， ，
设 ( ) = ，其中 ∈ (1 + ∞)，
则 ′( ) = +1( )2 ，
因为 ∈ (1, + ∞)，所以( )2 > 0，
当 + 1 ≥ 0 时， ′( ) ≥ 0，因此 ( )在(1, ]上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
所以 ( ) = ( ) = ，
所以 2 > ，即 > 2 ，
故 的取值范围为(2 , + ∞)．
17.解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
在△ 中，∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ // ， = 12 ，
在菱形 中，∵ // ， = 12 ，
∴ // ， = ，∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
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∴ //平面 ．
(2) ∵ ⊥平面 ， ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ = ，∴ = ，
在菱形 中， = = ，
∵ 为 中点，∴ ⊥ ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图，
在正△ 中， = 3， = 2， = 2， = ，
( 3, 0,0)， (0,0,1)， (0,2,0)，
= ( 3, 2,0)， = (0,2,0)， = ( 3, 0,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 + = 0
则 ，取 = 2，得 = (2, 3, 2 3)， = 3 + 2 = 0
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为：
= |cos < 2 3 57， > | = = ．2 19 19
18.解：(1)①记事件 为抽取的任一学生的竞赛成绩在[40,50]内，
记事件 为抽取的任一学生的竞赛成绩在[40,60]内，
从这 80 名学生中任取一人，
这名学生的竞赛成绩在[40,50] ( | ) = ( ) 0.05 1内的概率为 ( ) = 0.05+0.15 = 4．
②用 表示这 80 名学生中抽取的学生的成绩在[40,50]的人数，
经分析 服从二项分布， ( ) = ( = ) = 80 (1 )80 =
1 3 80
80( 4 ) ( 4 ) ，
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( ) 1 3 80 ≥ 1, . 80
(4) (4)由 ( +1) ，得 +1 1 +1 3 80 1 ≥ 1, 80 (4) (4)
80! 1 3 80 1 3
!(80 )!(4) (4) = ( +1)!(79 )!
( ) ( )80 4 4 +1 77
80! 1 +1 3 79 !(80 )! × 1 +1 3 79 = 80 × 3 ≥ 1，化简得 4 ≥ 77， ≥ 4，
( +1)!(79 )!(4) (4) (4) (4)
80!
!(80 )! (
1) (3)80 1 34 4 = ( 1)!(81 )!
( 80 4) (4) 81 1 81
80! (1) 1(3)81 !(80 )!
×
(1) 1(3)81
= × 3 ≥ 1，化简得 4 ≤ 81， ≤ 4
( 1)!(81 )! 4 4 4 4
77
解得 4 ≤ ≤
81
4，
又因为 ∈ ，所以 = 20.即当 = 20 时， ( )最大；
(2)证明：根据方差的定义，记男生的成绩为 1, 2， 3，… ，
记女生的成绩为 1， 2， 3，… ，则总体的方差为：

2 = =1 ( )
2+ =1 ( )2 = =1 ( + )
2+ =1 ( + )2
+ + ，

= =1 ( )
2+2 =1 ( )( )+

=1 ( )2+
2 2
=1 ( ) +2 =1 ( )( )+ =1 ( )
+ ，
由

=1 2 ( )( ) = 2( )

=1 ( ) = 2( )( 1 + 2 + + ) = 0，

( )2
同理 =1 2 ( )( ) = 0，
2 = =1 ，
2 2 则 =1 ( ) = ，同理

=1 ( )
2 = 2 ，

2 = =1 ( )
2+ =1 ( )2+

=1 ( )2+ =1 ( )2 [
2 +( )2]+ [ =
2+( )2]
+ + ．
19.解：(1)因为 0(2,3)， 1( 1, 1)，
1 3 3 0
1 2
= 2+2
联立 2 ，
21
1
3 = 1
= 141 13 1 = 2解得 或 (舍去)，
1 =
9 1 = 3
13
( 14 , 9则 1 13 13 )，
9
已知 2(2,0)，则 1 2 = 1 2 = 40；
(2)证明：当 为偶数时，取连续 3 个反射点 ( , )， +1( +1, +1)， +2( +2, +2)，
则直线 = +1+2 +1 1的方程为 2 与双曲线交于点 ( , )， +1
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= +1+2 2 +1 [3( +1+2 )2 1] 2 12( +1+2联立 2 ，消去 得 ) + 9 = 0，
2 = 1 +1
+1
3
12( +1+2)
+ +1 +1 =
3( +1+2 )
2 1
由韦达定理得 +1 ，
+1 =
9
3( +1+2 )
2 1
+1
4 +1+21 1
两式相除，得 +
+1

= ，
+1 3
4 +1+2 4 +1+21 3
可得 = +1 1
+1 +1 4 +1+5
3
= 3 = ， +1 +1 3 +1
故 = 3 +1 5+4 ， +1
3 +1 将 +1+2 = 5+4 代入直线 +1 1的方程 = 2， +1 +1
得 =
+2
2，
4 5 3
所以双曲线与直线 +1 1的另一个交点为 ( +1 , +1 5+4 +1 5+4
)，
+1
4 5 3
同理，双曲线与直线 +1 2的另一个交点为 +2( +15 4 ,
+1
+1 5 4
)，
+1
3 +1 3 +1
= 5+4 +1 5 4 +1 = 9 9故 +1 +2 4 5 4 5 5 = 5
1
，
+1 +1 +1
5+4 5 4 +1 +1 +1
9
即 +1 +2 = 5，
所以当 为偶数时，直线 +1与直线 +2的斜率之积为定值；
(3)当 为奇数时，点 在第二象限，设 = 2 1( ∈ )，
1
= = 2 1 2 1 2 2
(1
= 2 1
) 2 1
则 = 2 1 1 2 1 ( )， 12 1 2 1 1 2( 1 2 1) 2 1 2 1+1
(2) 4 5 4 5 4 5 由 小题的结论知 = 2 2 2 +12 1 5 4 ， 2 +1 = 5+4 ，即 2 =2 2 5+4
，
2 +1
4 5 2 +1
= 4 5
4 5
2 5+4 所以 2 1 5 4 =
2 +1 41 2 +1+40
2 4 5
=
5 4 2 +1 40 +41
，
2 +1
5+4 2 +1
1 81( 可得 2 +1 2 +1+1)2 1 1 = 40 +41 2 1 + 1 =2 +1 40 2 +1+41
，
2 1 1 = 两式相除，得 2 +1 1 ，2 1+1 81( 2 +1+1)
2 +1 1即( +1) = 81
2 1 1，
2 +1 2 1+1
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14
1 1 1又因为 13 1+1
= = 27，
1413+1

故数列{ 2 1 1 +1 }是首项为 27，公比为 81 的等比数列，2 1

可得 2 1
1 1 4 1
= 27 81 = 3 ，2 1+1
将此式代入前面( ) 1，得 = 2 1 = 34 1 = 32(2 1)+12 1 ，2 1+1
所以 = 32 +1( 为奇数)．
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