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湖南省永州市 2025 届高三数学二模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 ≤ ≤ 2}， = { | = 2 + 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. { 3, 1,1,3} B. { 3, 1,1} C. { 1,1} D. {1}
2 4+3 .已知复数 = 3 4 ，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 1
3.已知非零向量 ， 满足( ) ( 3 ) = 0，且| | = 3| |，则 与 的关系是( )
A. 垂直 B.共线 C.夹角为3 D.夹角为6
+ 4 , ≥ 0
4.已知函数 ( ) = 2 + + 2, < 0是 上的增函数，则实数 的取值范围是( )
A. [0,4] B. (0,4) C. (0,4] D. [0,4)
2 2
5 .设 1， 2分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，过点 2作 轴的垂线交 于 ， 两点，其
中点 在第一象限，且| 1| = 2| 2|.若 是 上的动点，则满足△ 1 2是直角三角形的点 的个数为( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
6.正三棱台 1 1 1的上、下底边长分别为 6，18，该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三
个侧面都相切)，则正三棱台的高为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7 1.已知数列{ }满足 +1 = 2 + ，则下列说法正确的是( )
A. { }所有项恒大于等于 2
B.若 1 = 1，则{ }是单调递增数列
C.若{ }是常数列，则 1 = 2
D.若 = 2 ，则{ + 1 +1 2 }是单调递增数列
8.在平面直角坐标系 中， (1,0)， ( 1, )， (1, )，其中 > 0， > 0，∠ = ∠ ，则当△

面积最小时， =( )
A. 5+1 B. 3+1 5 1 3 12 2 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间 = {1,2,3,4}含有等可能的样本点，且 = {1,2}， = {1,3}， = {1,4}，则下列结论正确的是
( )
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A. ( ) = ( ) ( ) B. ( | ) = ( | )

C. ( ) = ( ) ( ) ( ) D. ( ) = ( ) ( )
10
2 2
.斜率为 2 的直线 与双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的两条渐近线交于 ( 1, 1)， 2, 2 两点，与双曲
线交于 ， 两点， 是线段 的中点，则下列说法正确的是( )
A.
2 2
2

2 = 0 是双曲线两条渐近线所构成的“ ”形图象的方程
B. 也是线段 的中点
2
C.若 过双曲线的焦点，则直线 的斜率是 2 2
D.若 过双曲线的焦点，点 的坐标为(2,1)，则 =
11.已知 ( )的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
① ( ) = ( ) + ( )；
② ( + ) ≥ { ( ), ( )}；
③当 ( ) ≠ ( )时， ( + ) = { ( ), ( )}，
其中 { , } = , ≥ , < ．
下列说法正确的是( )
A.若 ( ) > ， ( ) > ，则 ( ) >
B. ( ) = 0 恰有两个整数解
C.若 + + = 0， ≠ 0，则 ( )， ( )， ( )中至少有两个相等
D.若 (2) = 1，则 (240) = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .已知 cos( + 2 ) = 3cos( )，则 2 + 2 = ______．
13.用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相
同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用
了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有______种.
14.在平面直角坐标系 中，射线 1： = ( ≥ 0)， 2： = 0( ≥ 0)，半圆 ： = 1 ( 4)2.现从
点 (1,0)向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线 1， 2时会发生镜面反射.设光线
在发生反射前所在直线的斜率为 ，若光线始终与半圆 没有交点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 1 sin sin ， = sin( + )， ≠ ．
(1)求 的外接圆半径；
(2)若 为锐角三角形，求 周长的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 ， 分别在线段 1， 1上，且| | = | 1|，| 1 | =
| 1 |．
(1)若 = = 12，证明： 1 ⊥ ；
(2)若 = 12，点 ， 分别在直线 1， 上，且 ⊥ 1， ⊥ ，求| |的取值范围．
17.(本小题 15 分)
箱子里有四张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，每次从箱子中随机抽取一张卡片，各卡片被抽到的概率均
1
为4，记录卡片上的数字，然后将卡片放回箱子.重复这个操作，直到满足下列条件之一结束：
( )第一次抽取的卡片上写的数字是 4；
( )设 为大于等于 2 的整数，第 次抽取的卡片上写的数字大于第 1 次抽取的卡片上写的数字.例如，当
记录的数字依次为 3，2，2，4 时，这个操作在第 4 次结束．
(1)若操作进行了 4 次仍未结束，求前四次抽取的情况总数；
(2)求操作在第 次结束的概率．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = ( + 2 ) + 2 , > 0．
(1)设直线 = 4 与曲线 = ( )交于点 ，求 点纵坐标的最小值；
(2) 取遍全体正实数时，曲线 = ( )在坐标平面上扫过一片区域，该区域的下边界为函数 ( )，求 ( )
的解析式；
5
(3)证明：当 ≥ 1 时，对任意正实数 ， ( ) ≥ 2 + 2. (附： 4 ≈ 3.49)
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19.(本小题 17 分)
2 2
在直角坐标系 中，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点 ( 2 3, 1)，短半轴长为 5.过点 (0,5)作直
线 交 于 ， 两点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，记直线 ， 的斜率分别为 1和 2．
(1)求 的标准方程；
(2) 1 1证明 + 是定值，并求出该定值；1 2
(3)设点 (0,1)，证明 上存在异于其上下顶点的点 ，使得∠ = ∠ 恒成立，并求出所有满足条件的
点坐标．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 12
13.6
14.( 158 ,
6
12 ) ∪ (
2
4 , + ∞)
15. (1) sin sin
2
解： 由 = sin( + )
sin sin
可得 = sin( + ) = sin

= ，
故 2 + 2 = ，由于 = 1，故 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得 cos = 2 = 2，
由于 ∈ 0, ，所以 = 3，
sin = 3 2 = = 32 ，根据 sin 解得 3 ，
3所以 的外接圆半径为 3 ．
(2)由(1)知， = 3， + =
2
3， ≠ 3，

由正弦定理有sin =
= = 1 = 2 3sin sin 3 3 ，
2
2 3 2 3 2 3
所以 + = 3 sin + 3 sin = 3 sin +
2 3
3 sin

3 +
= 2 33 sin +
2 3 3
3 2 cos +
1
2 sin = 3sin + cos = 2sin +

6 ，
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0 < < 2
因为 为锐角三角形，所以 0 < 2 < 3 2，解得 ∈ 6 , 3 ∪ 3 , 2 ，
≠ 3
所以 + 6 ∈ 3 ,
∪ , 2 2 2 3 ，则 2sin + 6 ∈ 3, 2 ，
所以 3 < + < 2，则 1 + 3 < + + < 3．
所以 周长的取值范围为 1 + 3, 3 ．
16. 1证明：(1)连接 1 ， ，当 = = 2，
则 是 1的中点， 是 1 的中点，
所以 // ，
因为 面 ， 1 ⊥面 ，所以 1 ⊥ ，
所以 1 ⊥ ；
解：(2)以 点为原点， , , 1方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， 1(1,1,1)， 1(0,1,1)， (1,1,0)， 1(0,0,1)
1 = (0,1,1), 1 = (1,0, 1)，所以 = (0, , ), 1 = ( , 0, )，
所以 (1, , )， ( , 1,1 )，所以 = ( 1,1 , 1 )，
又 1 = (0,0,1)，设直线 的方向向量为 = ( , , )，
1 = 0 = 0则由 得
= 0 ( 1) + (1 ) + (1 ) = 0
，
取 = (1 , 1 , 0)，又 = (1, , )，
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1
| | = | | = |1 + |所以 | | =
2
2+ 2 2( + )+2 ( + )2 2( + )+1
1 1
= 2 2| + 1| = ，| + 12 1|
0 ≤ ≤ 1 1
由 0 ≤ 1 得 ≤ ≤ 1，2 ≤ 1 2
易知 = + 12 1 在[
1
2 ,
2
2 ]单调递减，[
2
2 , 1]单调递增，
所以 ∈ [ 2 1, 12 ]，所以| | ∈ [1,
2+1 ．
2 ]
17.解：(1)由题意，前四次抽取的情况有：
1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，
3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有 15 种；
(2)设操作在第 次结束的概率为 ，操作在第 次未结束的概率为 ，
当 ≥ 2 时， = 1 ，当 = 1
1
时， 1 = 4，
接下来我们讨论操作进行了 次，但是并没有结束的情形，
抽取的数字结构如下所示：
3, ,3,2, ,2,1, ,1 ，
分别设序列中的 3，2，1 的个数为 ， ， ，可知 + + = ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0)，
利用隔板法，可以知道对应情形的数量，操作如下：
令 = + 1， = + 1， = + 1，即 + + = + 3( ≥ 1, ≥ 1, ≥ 1)，
2 = ( +1)( +2)一共有 +2 2 种情形，
1
各情形概率均为( 4 )
= ( +1)( +2) 1，所以有 2 ( 4 ) ，
≥ 2 = = ( +1) ( 1 ) 1 ( +1)( +2) ( 1 ) = ( +1)(3 2) 1当 时， 1 2 4 2 4 2 ( 4 ) ，
经检验，其对 = 1 = ( +1)(3 2) 1依然成立，即 2 ( 4 )
．
18.解：(1) = 4 时， ( ) = 2 + 4 + 12
= 5 2 + 3
，
5 5
令 ( ) = + 3 ≥ 2 3 2 2 = 30，
6
5
当且仅当 = 3 2 6
ln
2 = 5 =
5
2 时等号成立，
所以 点纵坐标的最小值为 30；
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(2) ( ) = ( + 1 )
+ 2( 1 ) ，
1 1
令 ( ) = ( + )
+ 2( ) ，
1
则 ′( ) = ( + ) 2(
1 ) = +1 2 1 = +1 ( 2 2 1 +1 )，
①当 2 1 +1 ≤ 1，即 0 < ≤ 3 时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
( ) > (0) = 3 1 ；
1 1 ln(2
1)
②当 2 +1 > 1，即 > 3 时，由
2 = 2 +1 =
+1
2 ，
ln(2 1 +1) ln(2
1)
( )在(0, )上单调递减，在( +12 2 , + ∞)上单调递增，
ln(2 1)
( ) ≥ ( +12 ) = 2 2
1
．
3 1 , 0 < ≤ 3
综上所述， ( ) = ．
2 2 1 , ≥ 3
(3)证明：由第(2)问可知 ( ) ≥ ( )恒成立，所以只需证明 ( ) ≥ 2 + 2 即可．
①若 ∈ [1,3] 1，构造 ( ) = 3 2 2，
则 ′( ) = 3 + 1 2 = 1 12 2 2 (3 4 + 1) = 2 (3 1)( 1)，
因为 ≥ 1，所以 ′( ) ≥ 0 在[1,3]上恒成立， ( )在[1,3]上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，
即 3 1 ≥ 2 + 2 在[1,3]上恒成立；
②若 ∈ [3, + ∞) ( ) = 2 2 1， ，
因为 ≥ 3 1 1，所以 2 2 ≥ 2 2 3，
构造 ( ) = 2 2 13 2 2，
2 2 1
则 ′( ) = 2 2 =
3
．
13
1
3
1
令 ( ) = 2 2 3，
则 ′( ) = 2 1 > 0，
13
所以 ( )在[3, + ∞)单调递增，
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而 (3) = 3 2 43 6 > 0，所以 ( ) > 0 ′( ) > 0 恒成立，
( )在[3, + ∞) 8单调递增， ( ) ≥ (3) = 3 3 2 3 2．
5 5
因为 3 < 4，即 ( ) > (3) = 8 83 3 2 3 2 > 3 3 2 4 2 > 0，
( ) = 2 2 1 ≥ 2 2 1 3 > 2 + 2，
所以 ( ) ≥ 2 + 2，
而 ( ) ≥ ( )，即证 ( ) ≥ 2 + 2 在 ∈ [1, + ∞)上恒成立．
19.解：(1)因为椭圆 经过点 ( 2 3, 1)，短半轴长为 5，
( 2 3)2 12
所以 2
+ 2 = 1，
= 5
= 15
解得 ，
= 5
2 2
则 的标准方程为15+ 5 = 1；
2 2
(2)将椭圆向右平移 2 3 ( 2 3) ( +1)个单位，再向下平移 1 个单位得 ′： 15 + 5 = 1，
即 2 + 3 2 + 6 4 3 = 0，
设直线 平移后的直线方程为 ′ ′： + = 1，
因为直线 ′ ′过点(2 3, 4)，
所以 2 3 + 4 = 1，
此时 2 + 3 2 + (6 4 3 )( + ) = 0，
即(6 + 3) 2 + (6 4 3 ) + (1 4 3 ) 2 = 0，
可得(6 + 3) 2 + (6 4 3 ) + (1 4 3 ) = 0，
所以 1 + 2 =
6 4 3 1 4 3
6 +3 ， 1 2 = 6 +3 ，
1 + 1 = 1+ 2 6 4 3 6 3(1 2 3 )则 1 2 1
=
2 1 4 3
= 1 4 3 = 3；
(3) | | | |根据角平分线性质，可得| | = | |，
设 ( , )，直线 的方程为 = 1( + 2 3) + 1，
令 = 0，
解得 (0,2 3 1 + 1)，
同理得 (0,2 3 2 + 1)，
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| | = | |因为| | | |，
2+[ (2 3 1+1)]2 | |
所以 = 1| |， 2+[ (2 3 2+1)]2 2
2+ 2 (4 3 1+2) +(2 3 1+1)2 2对等式两边同时平方并整理得 1 2+ 2 (4 3 2+2) +(2 3 2+1)2
=
2
，
2
2 + 2 [ 4 3 1 即 2 + + 2] +
4 3 1 2 + 1 = 0，
1 2 1+ 2
可得 2 + 2 6 + 5 = 0，
易知轨迹是一个定圆，
2 + 2 6 + 5 = 0
联立 2 2 ，消去 并整理得 2 + 3 10 = 0，
15+ 5 = 1
解得 = 2 或 = 5(舍去)．
综上所述，椭圆 上存在点 ( 3, 2)或 ( 3, 2)使得∠ = ∠ 恒成立．
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