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2024-2025 学年湖北省荆州市松滋市贺炳炎中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ( | ) = 12， ( ) =
2
5，则 ( )等于( )
A. 15 B.
4
5 C.
9
10 D.
5
4
2.下列求导数的运算中正确的是( )
A. ( 2 ) =
2
′ B. ( + cos

3 )

′ = sin 3
C. (3 )′ = 3 1 D. [ln(2 1)]′ = 22 1
3 1.已知随机变量 服从二项分布 ( , 2 ).若 (3 + 2) = 36，则 =( )
A. 144 B. 48 C. 24 D. 16
4 ( . 2 )( + 2 )
5的展开式中 3 3的系数为( )
A. 12 B. 40 C. 60 D. 100
5.现有四所学校，每所学校出 2 名教师参加学科比武大赛，现有 4 名教师得奖，获奖教师中恰有 2 名教师
来自同一学校的有( )
A. 24 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 96 种
6.已知函数 ( ) = + 2 + 在(0, + ∞)上单调递增，则实数 的最小值是( )
A. B. 1 C. 1 D. 2 2
7.已知 20 条试题中有 8 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 5 条题，乙有放回地依次从中抽取 5 条题，
甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的 5 条题中选择题的条数分别为 1， 2， 1， 2的期望分别为 ( 1)， ( 2)，
方差分别为 ( 1)， ( 2)，则( )
A. ( 1) = ( 2)， ( 1) < ( 2) B. ( 1) = ( 2)， ( 1) > ( 2)
C. ( 1) < ( 2)， ( 1) < ( 2) D. ( 1) < ( 2)， ( 1) > ( 2)
8.已知实数 ， 满足 ln(4 + 4) + 4 2 3 2 2 4 ≥ 0，则 2 + 3 的值为( )
A. 20 B. 25 C. 13 147 7 5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
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A.若随机变量 的数学期望 ( ) = 4，则 (2 1) = 7
B.若随机变量 的方差 ( ) = 3，则 (2 + 5) = 6
C.将一枚硬币抛掷 3 次，记正面向上的次数为 ，则 服从二项分布
D.从 7 男 3 女共 10 名学生中随机选取 5 名学生，记选出女生的人数为 ，则 服从超几何分布
10.下列说法中正确的是( )
A.将 4 个相同的小球放入 3 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 3 种放法
B. 482022 3 被 7 除后的余数为 2
C.若( + 1)4 + ( 1)5 = 2 3 4 50 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ，则 0 + 2 + 4 = 8
D. 10 个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手 45 次
2
11 + 1.已知函数 ( ) = ，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )与 轴有两个不同的交点
B.函数 ( )既存在最大值又存在最小值
C.若当 ∈ [ , + ∞)时， ( ) = ，则 的最大值为 1
D.若方程 ( ) = 5有 1 个实根，则 ∈ ( 2 , + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.在(3 2 + 1)5在展开式中，不含 的所有项的系数和为______(用数值作答)．
13.现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6.从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上
数字的最小值为 ，则 ( = 2) = ， ( ) = ．
14.已知当 ∈ (0, ]，不等式 +2 ≥ ln 2 恒成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1
在二项式( + 4 ) 的展开式中，第 3 项和第 4 项的系数比为 ．2 3
(1)求 的值及展开式中的常数项是第几项；
(2)展开式中系数最大的项是第几项？
16.(本小题 15 分)
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从 8 个试题中随机挑选出 4 个进行作答，至少答对 3 个才能通
3
过初试已知甲、乙两人参加初试，在这 8 个试题中甲能答对 6 个，乙能答对每个试题的概率为4，且甲、乙
两人是否答对每个试题互不影响．
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(1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
(2)若答对一题得 5 分，答错或不答得 0 分，记乙答题的得分为 ，求 的分布列及数学期望和方差．
17.(本小题 15 分)
某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其
1 1
中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为3，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为2，
中奖与否互不影响．
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值 50 元的学习用品，中奖两次获得价值 30 元的学
习用品，其他情况没有奖励．
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值 70 元的学习用品，中奖两次获得价值 40 元的学习用品，其
他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，
求该同学选择乙抽奖箱的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2 + (2 + 1) ．
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)当 < 0 3时，证明 ( ) ≤ 4 2．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1)， ∈ ．
(1)求函数 ( )在点(1, (1))点处的切线方程；
(2)当 = 1 时，求函数 ( )的极值点和极值；
(3)当 ≥ 1 ( ) ≤ 时， +1恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.16 1235； 7
14.[ 1 3 , + ∞)
5
15. 1解：(1)展开式的通项公式为 +1 = ( 4 ) = (
1 ) 42 ， = 0，1，. . .， ，2
1
则第 3 项和第 4 项的系数分别为 2 ( )2, 3 2 (
1 3
2 ) ，
2 (1 2 5
所以 2
)
= 13 ，解得 = 20
1
，所以通项公式为 = ( 20 4
(
1)3 3 +1 20 2
) ，
2
令 20 5 4 = 0，解得 = 16，所以常数项为第 17 项；
( 1 +1 1 +120 ) ≥ 20 ( )
(2)设第 + 1 项的系数最大，则 2 21 ，解得 6 ≤ ≤ 7， ( ) ≥ 1( 1 ) 120 2 20 2
又 = 0，1，. . .，20，所以 = 6 或 7，
即系数最大的项是第 7 项和第 8 项．
16.解：(1) ∵甲在 8 个试题中甲能答对 6 个，
3 1 4
∴ 11甲通过自主招生初试的概率 1 = 6 2 + 6 = ， 4 48 8 14
又∵ 3乙能答对每个试题的概率为4，
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∴ 3 1 3 189乙通过自主招生初试的概率 = 3( )3 + ( )42 4 4 4 4 = 256，
∵ 1 > 2，
∴甲通过自主招生初试的可能性更大．
(2) 3由题意可知，乙答对题的个数 的可能取值为 0，1，2，3，4， ～ (4, 4 )，
( = ) = 4(
3 1 4
4 ) ( 4 ) ( = 0,1,2,3,4)且 = 5 ，
故 的分布列为：
0 5 10 15 20
1 3 27 27
81
256 64 128 64 256
∴ ( ) = (5 ) = 5 ( ) = 5 × 4 × 34 = 15，
( ) = (5 ) = 52 ( ) = 25 × 4 × 34 × (1
3
4 ) =
75
4．
17.解：(1)若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为 元，
由题意可知， 的所有可能取值为 50，30，0，
则 ( = 50) = 1 1 1 13 × 2 × 2 = 12， ( = 30) =
1 × 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 × (1 2 ) + 3 × (1 2 ) × 2 + (1 3 ) × 2 × 2 = 3， ( =
0) = 1 1 112 3 =
7
12，
所以 ( ) = 50 × 112 + 30 ×
1 7 25
3+ 0 × 12 = 6 + 10 =
85
6；
若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为 元，
由题意可知， 的所有可能取值为 70，40，0，
( = 70) = 3( 1 1 1则 3 2 23 3 ) = 27， ( = 40) = 3( 3 ) × (1
1 ) = 2 1 2 203 9， ( = 0) = 1 27 9 = 27，
( ) = 70 × 1 + 40 × 2 + 0 × 20 = 70 + 80 = 310所以 27 9 27 27 9 27，
85 310
因为 6 > 27，
所以 ( ) > ( )，
故选择方案一比较合适；
(2)设“该同学抽取中奖”为事件 ，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为 1， 2， 3，
则 ( 1) = ( 2) = ( ) =
1
3 3， ( | 1) =
1
3， ( |
1
2) = ( | 3) = 2，
所以 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | ) =
1
3 3 ×
1
3 +
1
3 ×
1
2+
1 1 4
3 × 2 = 9，
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1
( 2 ) ( 2) ( | 2) 3×
1
故 ( 2| ) = 2
3
( ) = ( ) = 4 = 8．
9
18.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 2 ，
( ) = 1 2 1 = (2 1)( +1)则 ′ ( > 0)，
令 ′( ) = 0 1，则 = 2，
∴ 1当 0 < < 2时， ′( ) > 0
1
；当 > 2时， ′( ) < 0，
∴ ( ) 1 1的单调递增区间为(0, 2 )，单调递减区间为( 2 , + ∞)．
(2)由 ( ) = + 2 + (2 + 1) ，
( ) = 1 + 2 + (2 + 1) = (2 +1)( +1)得 ′ ( > 0)，
当 ≥ 0 时，2 + 1 > 0， + 1 > 0，∴ ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，令 ′( ) = 0，解得 = 12 ，
∴ 1当 ∈ (0, 2 )时， ′( ) > 0；当 ∈ (
1
2 , + ∞)时， ′( ) < 0；
∴ ( )在(0, 1 12 )上单调递增，在( 2 , + ∞)上单调递减；
综上，当 ≥ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 1 1时， ( )在(0, 2 )上单调递增，在( 2 , + ∞)上单调递减．
(3)证明：由(2) 1 1 1知， ( ) = ( 2 ) = ln( 2 ) 4 1；
要证 ( ) ≤ 3 1 1 34 2，只需证 ln( 2 ) 4 1 ≤ 4 2，即证 ln(
1 1
2 ) + 2 + 1 ≤ 0；
设 ( ) = + 1，则 ′( ) = 1 1 = 1 ，
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0；
∴ ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，∴ ( ) = (1) = 0；
1 1 1 1
又 2 > 0，∴ ( 2 ) = ln( 2 ) + 2 + 1 ≤ 0，即 ( ) ≤
3
4 2．
19.解：(1)由题 ′( ) = 1 =
+1
，所以 ′(1) = 1 ，
所以切线方程为：(1 )( 1) = 0
(2)由题 = 1 时， ( ) = + 1，所以 ′( ) = 1 1 1 =
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所以 ′( ) > 0 0 < < 1； ′( ) < 0 > 1，
所以 ( )在(0,1)单增，在(1, + ∞)单减，所以 ( )在 = 1 取得极大值 (1) = 0．
所以函数 ( )的极大值 (1) = 0，函数无极小值
(3) ( ) = (
2 1)
+1 +1 ，
令 ( ) = ( 2 1)( ≥ 1)，
′( ) = + 1 2 ，令 ( ) = ′( ) = + 1 2 ， ′( ) = 1 2
①若 ≤ 0， ′( ) > 0， ′( )在[1, + ∞)递增， ′( ) ≥ ′(1) = 1 2 > 0
∴ ( )在[1, + ∞)递增， ( ) ≥ (1) = 0，从而 ( ) +1 ≥ 0，不符合题意
②若 0 < < 12，当 ∈ (1,
1
2 )， ′( ) > 0，∴ ′( )在(1,
1
2 )递增，
从而 ′( ) > ′(1) = 1 2 ，以下论证同(1)一样，所以不符合题意
1
③若 ≥ 2， ′( ) ≤ 0 在[1, + ∞)恒成立，
∴ ′( )在[1, + ∞)递减， ′( ) ≤ ′(1) = 1 2 ≤ 0，
从而 ( )在[1, + ∞)递减，∴ ( ) ≤ (1) = 0， ( ) +1 ≤ 0，
1
综上所述， 的取值范围是[ 2 , + ∞)．
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