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2024-2025学年湖南省衡阳三中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若是的中线，已知，，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，分别是三角形内角，，的对边，且，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为( )
A. B. C. D.
7.把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.九章算术是我国古代的数学专著，是“算经十书”汉唐之间出现的十部古算书中非常重要的一部在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个平面，、为两条直线，且下述四个命题为真命题的有( )
A. 若，则且
B. 若，则平行于平面内的无数条直线
C. 若且，则
D. 若在平面外，则与平行或异面
10.已知为虚数单位，以下选项正确的是( )
A. 若，，则的充要条件是，
B. 若复数，，满足，则
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中错误的是( )
A. 若，则定为等腰三角形
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，其中，且，则向量与的夹角是______．
13.如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得，若山高米，则山高等于______．
14.在中，，，，若为中点，则长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求的值；
求；
求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.本小题分
如图，在中，，，点在线段上，且求：
的长；
的大小．
17.本小题分
如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．
求四棱台的表面积；
若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求；
若，求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.米
14.
15.解：，
则；
，
则，
故；
，
则，，
故向量在向量上的投影向量的坐标为：．
16.解：在中，因为，，所以，．
所以．
在中，由余弦定理有，所以．
由知，，所以，所以．
17.解：，
点到的距离，
四棱台的表面积为：
圆台的体积为：

18.证明：在四棱锥中，平面，
平面，
平面平面，
．
取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
19.解：在中，角，，的对边分别为，，，且满足，
因为，根据正弦定理可得，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以；
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．
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