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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
（奥数）第六单元 分数的加法和减法奥数思维训练一
一、填空题
1．一杯牛奶，小玉喝了杯后加满水，又喝了杯后加满水，接着又喝了半杯后再加满水，最后把整杯都喝了，小玉喝的（ ）多。
2．如果a和b都是非零自然数，并且满足＋＝，那么ab＝（ ）。
3．计算。
，，
根据上面的规律，。
4．一个三角形框架的两条边分别是m和m，如果这个三角形是一个等腰三角形，那么这个三角形的周长是（ ）m。
5．如果是分母为18的最简真分数，则所有满足条件的分数之和为（ ）。
6．和都是自然数，并且满足，则（ ）。
7．，，，…，仔细观察这一组等式，根据你的发现把下面的等式补充完整。
，。
8．已知，，…，根据以上规律，我们可以推算出（ ）。
9．一杯纯果汁，小明喝了杯后，加满水，又喝了杯。这时小明一共喝了杯纯果汁，喝了杯水。
10．A、B、C三个分数，它们的分子和分母都是自然数。已知A的分子是B的分子的1.5倍，B的分子是C的分子的2倍：A的分母是C的分母的，B的分母是C的分母的。这三个分数的和是，则（ ）。
二、选择题
11．一杯纯牛奶，亮亮喝了半杯后，加满了水。他又喝了半杯后，又加满了水。亮亮再次喝了半杯，亮亮三次共喝了（ ）杯纯牛奶。
A． B． C． D．
12．的和（ ）。
A．小于1 B．等于1 C．大于1
13．一个班的人数在30～50人之间，上体育课时，其中的人跳绳，的人打篮球，的人在踢毽子，这个班没有参加体育运动的人数是（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．1或2
14．（ ）。
A． B． C． D．
15．如果（和均为最简分数），那么（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
16．一杯奶茶，小红喝了杯后，觉得有点甜，就兑满了白开水，她又喝了半杯，就出去玩了，小红一共喝了（ ）杯纯奶茶。
A． B． C．
三、计算题
17．先计算，再利用规律解决问题。
1－＝
－＝
－＝
－＝
＋＋＋＝（ ）（请写出计算过程）
18．计算。
19．计算：。
四、解答题
20．从和式中去掉哪几个单位分数，才能使余下的分数之和为1？
21．李蒙喝一瓶果汁，分四次喝。第一次喝了这瓶果汁的，然后加满水；第二次喝了一瓶的，然后再加满水；第三次喝了半瓶，又加满水；第四次一饮而尽，李蒙喝的果汁多还是水多？为什么？
22．一杯纯牛奶，李敏喝了半杯后，妈妈先往杯中加入了杯纯牛奶，再兑满水。过了一会儿，李敏又喝了半杯。李敏一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
23．王叔叔是自行车运动爱好者，周末经常去训练场进行训练。训练路线由三部分组成，从起点到全程的处是上坡，从处到全程的处是下坡，其余的是平地，如下图所示。
（1）下坡路线占全程的几分之几？
（2）王叔叔从起点出发，骑行了全程的后原地休息，然后继续向终点方向骑行了全程的，这时他处于哪段训练路线？（列式计算说明）
24．小新喝一杯纯牛奶。第一次喝了杯，然后加满水；第二次又喝了半杯，这时小新一共喝了多少杯牛奶？（请试着画图分析）
25．把、、、、、和这七个分数分别填在下面的圆圈里，使每条直线上三个数的和都等于1。
26．甲、乙、丙三人分一堆桃子，甲、乙分得这堆桃子的，乙、丙分得这堆桃子的，甲、乙、丙三人各分得这堆桃子的几分之几？
27．某工地有一批水泥，第一次用去800千克，比第二次多用去吨，剩下的水泥比两次用去的水泥总数还多吨。这批水泥一共有多少吨？
28．晨晨喝了一杯牛奶的，然后加满温开水，又喝了一杯的，再倒满水，又喝了杯后，继续加满水，最后把一杯喝完了。晨晨喝了牛奶和温开水各几杯？
29．文文、彤彤和丽丽三人跑步。文文比彤彤多跑km，丽丽比彤彤少跑km。文文和丽丽所跑的路程相差多少千米？如果丽丽比彤彤多跑km，那么文文和丽丽所跑的路程相差多少千米？
30．一份工作，由张师傅、李师傅和赵师傅共同完成，张师傅和李师傅共完成了这份工作的，李师傅和赵师傅共完成了这份工作的，李师傅完成了这份工作的几分之几？
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（奥数）第六单元 分数的加法和减法奥数思维训练一
答案解析
1．【分析】把杯子的容积看作单位“1”，首先明确牛奶一直没加，所以小玉喝了一杯牛奶，由题意可得：第一次加了杯子容积的的水，第二次加了杯子容积的的水，第三次加了杯子容积的水，依据分数加法计算方法，求出三次加水的体积，最后与喝掉牛奶的体积对比即可解答。
【解答】＋＋＝
＞1
所以喝的水多。
【点评】解答本题的关键是明确：牛奶一直没加，所以小玉喝了一杯牛奶。
2．【分析】由异分母分数加减法法则可得，＋＝通分变形后得7a＋5b＝17，因为a和b都是非零自然数，用列举法求得a和b即可。
【解答】因为＋＝，所以7a＋5b＝17，a和b都是非零自然数
当a＝1，b＝1，7a＋5b＝7＋5＝12，不符合题意，舍去；
当a＝1，b＝2，7a＋5b＝7＋5×2＝17，符合题意。
所以ab＝1×2＝2
【点评】解答本题的关键是先确定a和b的关系，再用列举法求得a和b的值。
3．【分析】观察发现算式的规律，一个分子是1的分数等于分母比原分数小1的分数减去分母是这两个分数分母乘积的分数（分子都是1），据此解答即可。
【解答】
【点评】本题考查分数减法，解答本题的关键是掌握算式的规律。
4．【分析】三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，先确定等腰三角形的腰，再计算三条边的和，据此解答。
【解答】当m为等腰三角形的腰时。
＋＝（m）
－＝0（m）
因为0＜＜，所以腰为m符合题意。
周长：＋＋
＝＋
＝（m）
当m为等腰三角形的腰时。
＋＝1（m）
因为1＜，所以m、m、m不能组成三角形。
由上可知，这个三角形的周长是m。
【点评】掌握等腰三角形的特征和三角形的三边关系是解答题目的关键。
5．【分析】分子比分母小的分数叫做真分数；最简真分数是指分子和分母只有公因数1的真分数。
据此求出所有满足条件的分数，再根据同分母分数加法的计算法则解答。
【解答】分母为18的真分数有：、、、、、…、；
其中是最简真分数的有：、、、、、、；
分子a＋5，当a＝0时，a＋5＝5；
所以是分母为18的最简真分数，那么分子需满足5≤a＋5＜18；
所有满足条件的最简真分数有：、、、、；
它们的和是：
＝
所有满足条件的分数之和为。
【点评】本题考查最简真分数的意义、同分母分数加法的计算法则及应用。
6．【分析】观察算式，是异分母分数加法，先通分，然后按照同分母分数的加法进行计算。由此得出和的关系式，再根据和都是自然数，分情况讨论和的值，进而求出的值。
【解答】
则
①当时
解：
不符合“和都是自然数”的要求。
②当时
解：
符合“和都是自然数”的要求。
所以，，。
。
【点评】先根据异分母分数加法的计算法则，找出和的关系，再分情况讨论它们的取值。
7．【分析】通过观察可知，，，，，…据此得出，据此利用规律解答。
【解答】（答案不唯一）
即
【点评】通过观察，总结算式的规律，再利用规律进行解答即可。
8．【分析】根据，，…，将每个加数都拆成两数相减的形式，如、、、…，中间抵消，最后只剩，据此即可得出结果。
【解答】
已知，，…，根据以上规律，我们可以推算出
【点评】关键是看懂规律，通过转化，将中间抵消后再计算。
9．【分析】把整个杯子的容量看成单位“1”，首先果汁的量没有增加，先喝了杯，那么就剩下杯果汁，加满水后，又喝了杯，也就是喝了杯的，即又喝了杯，那么果汁一共喝了（＋）杯；再看喝水的量，只加了一次水，加了杯，喝了杯，也就是喝了杯的，即只喝了杯的水。
【解答】喝的果汁：（杯）
喝的水：杯
小明一共喝了杯纯果汁，喝了杯水。
【点评】本题考查分数加法，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。
10．【分析】已知A的分子是B的分子的1.5倍，B的分子是C的分子的2倍；设分数C的分子为a，则分数B的分子为2a，分数A的分子为2a×1.5＝3a；
A的分母是C的分母的，B的分母是C的分母的，设分数C的分母为4b，则分数B的分母为3b，分数A的分母为2b；所以三个分数为：，，；三个分数和是，即＋＋＝；分别求出a和b的值，求出三个分数，进而求出三个分数的差，据此解答。
【解答】设分数C为，则分数A为，分数B为。
＋＋＝
＋＋＝
＝
29a＝29
a＝29÷29
a＝1
12b＝60
b＝60÷12
b＝5
分数C为：＝，则分数A为：，分数B为：。
A－B－C＝－－
＝－－
＝－
＝
A、B、C三个分数，它们的分子和分母都是自然数。已知A的分子是B的分子的1.5倍，B的分子是C的分子的2倍：A的分母是C的分母的，B的分母是C的分母的。这三个分数的和是，则A－B－C＝。
【点评】解答本题的关键是明确三个分数的分子之间的关系，分母之间的关系，设出分数，进而解答。
11．【分析】第一次喝了半杯，即杯纯牛奶；第二次杯子里有一个半水一半牛奶，喝了半杯，即喝了杯纯牛奶；第三次杯子中还有杯纯牛奶，再喝一半，即喝了杯纯牛奶，将三次喝的纯牛奶加起来即可。
【解答】＋＋
＝＋＋
＝（杯）
故答案为：D
【点评】异分母分数相加减，先通分再计算。
12．【分析】根据分数的拆项公式，求出的和，再与1进行比较解答。
【解答】
＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）
＜1
所以＜1。
故答案为：A
【点评】本题关键是根据分数的拆项公式求出结果，再比较解答。
13．【分析】把全班总人数看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”减去跳绳、打篮球、踢毽子的人数占总人数的分率之和，就是这个班没有参加体育运动的人数占总人数的几分之几；
经过计算，得出这个班没有参加体育运动的人数占总人数的，已知一个班的人数在30～50人之间，能平均分成20份，说明这个班的总人数是20的整数倍，确定这个班的总人数是40人；
把40平均分成20份，取其中的一份，据此求出这个班没有参加体育运动的人数。
【解答】1－（＋＋）
＝1－（＋＋）
＝1－
＝
已知一个班的人数在30～50人之间，且总人数是20的整数倍，所以全班总人数是40人。
40÷20×1＝2（人）
这个班没有参加体育运动的人数是2人。
故答案为：B
【点评】本题考查分数加减混合运算的应用以及分数的意义；掌握异分母分数加减法的计算法则，得出没有参加体育运动的人数占总人数的分率，据此确定全班总人数是解题的关键。
14．【分析】观察可得：－=，－=，－=，－=，－=…，发现无限减下去无限接近0，可依此解答本题。
【解答】－－－－－－…
=＋－－－－－－…
=＋（－－－－－－…）
=＋（－－－－－…）
=＋（－－－－…）
=＋（－－－…）
=＋（－－…）
=＋（－…）
发现括号里的式子无限减下去无限接近0，那么整个算式的结果就是。
故答案为：C
【点评】本题的关键是仔细观察，发现其中的规律并思考其最终演变的结果。
15．【分析】异分母分数相加减，先通分再计算，即，3A＋2B＝19，因为2B是偶数，19是奇数，根据奇数和偶数的运算性质，可知3A是奇数，且是3的倍数，19＝3＋16＝9＋10，因为和均为最简分数，所以只有19＝9＋10符合，则3A＝9，2B＝10，据此求出A和B各是多少，再相加即可。
【解答】
3A＋2B＝19
若19＝3＋16
则3A＝3
2B＝16
所以A＝3÷3＝1
B＝16÷2＝8
因为不是最简分数，所以A和B结果不符合。
若19＝9＋10
则3A＝9
2B＝10
所以A＝9÷3＝3
B＝10÷2＝5
因为和是最简分数，所以A和B结果符合。
3＋5＝8
所以A＋B的值是8。
故答案为：D
【点评】关键是掌握异分母分数加减法的计算方法，根据奇数和偶数的运算性质，灵活分析，进而得出结论。
16．【分析】第一次小红喝了杯奶茶，还剩下杯奶茶。兑满白开水后，此时有杯水和杯奶茶，第二次她又喝了半杯，则她喝了杯水的一半和杯奶茶的一半，把整杯奶茶平均分成6份，水占2份，奶茶占4份，喝了一半就是喝了1份水和2份奶茶，即第二次喝了杯水和杯奶茶，据此算出她一共喝了多少杯奶茶即可。
【解答】根据分析可得，她一共喝了：（杯）
故答案为：B
【点评】本题考查喝牛奶问题，解答本题的关键是求出两次小红喝牛奶的杯数。
17．【分析】（1）异分母分数相减，先通分，然后分母不变，把分子相减。1－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝。
（2）通过观察计算结果找出规律。－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝；……（≥1）。
（3）根据规律可知：＝，前后两个相邻的分数因为运算符号相反，所以相加得0。
【解答】
＝
计算过程如下：
＝
＝1－
＝
【点评】一个分数，如果分子是1，分母是两个相邻自然数的积，那么这个分数就可以拆分成两个分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。
18．【分析】，先把算式变为，因为＝，＝，＝，＝，＝；将算式变为，最后去掉括号进行简算即可。
【解答】
＝
＝
＝
＝
＝
19．【分析】由分子是1的分数加法的简便算法可推导出：。据此可有，，，。拆数之后，再根据加法交换律和结合律使同分母分数结合，进行计算。
【解答】
＝
＝
＝1＋1＋＋1＋1
＝4
20．【分析】接近1，而，再把拆成相应的单位分数之和就可以看出从中所去掉的分数。
【解答】，把拆成两个单位分数之和：＝＋，所以要去掉的单位分数是和。
答：去掉和。
【点评】本题考查了分数连加计算，合理分析。
21．【分析】第一次加了的水，第二次加了的水，第三次加了的水，加起来是一共喝的水，果汁就是这一瓶，算出喝的水，比较即可。
【解答】＋＋＝＝1
1＝1
答：李蒙喝的果汁和水同样多，都是1瓶。
【点评】本题考查了分数加法应用题，果汁是一瓶，关键是求出喝了多少水。
22．【分析】李敏喝了半杯是杯，加入杯纯牛奶，此时杯子有＋＝杯纯牛奶，加入了1－＝杯水，喝了一半，即又喝了杯牛奶的一半，杯水的一半。
【解答】＋＝（杯）
1－＝（杯）
＋＝（杯）
的一半是。
答：李敏一共喝了杯纯牛奶，杯水。
【点评】本题考查了分数加减法应用题，关键是理解一个分数的一半是几分之几。
23．【分析】（1）求下坡路线占全程的几分之几，用求得即可；
（2）根据王叔叔骑行的路程判断王叔叔处于哪段训练路线即可。
【解答】（1）
答：下坡路线占全程的。
（2）
答：这时他处于平地训练路线。
【点评】本题考查分数加减法，解答本题的关键是分析清楚整条路线的分布情况。
24．【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，第一次喝了杯，杯子里还剩下（1－），第二次喝了剩下的一半，相当于把剩下的杯牛奶平均分成2份，取其中一份，喝了杯，两次喝的牛奶加起来即可。
【解答】
杯的一半是杯，所以第二次喝的纯牛奶是杯。
（杯）
答：这时小新一共喝了杯牛奶。
【点评】此题的解题关键是认识整体的几分之几，把这杯纯牛奶看作单位“1”，通过数形结合的方法，求出结果。
25．【分析】观察可知中间数使用了3次与剩余其它数之和为3，可先求中间数。再求出每条直线上其余两数之和，最后从剩余的数中挑数，凑数即可。
【解答】第一步：先求中间数，
所以中间数＋中间数＝，故中间数＝；第二步：每条线上其他两个数的和为；
第三步：，，。
【点评】此题的突破口是中间数。熟练掌握异分母分数的计算才是解题的关键。
26．【分析】三人分一堆桃子，用“1”减去甲、乙分得的，即得丙分得这堆桃子的几分之几，同理可求甲分得这堆桃子的几分之几，最后求乙分得这堆桃子的几分之几。
【解答】丙：，
甲：，
乙：
答：甲、乙、丙三人各分得这堆桃子的，，。
【点评】本题考查了分数加减法应用题，关键是理解题意。
27．【分析】先统一单位，用第一次用去的－＝第二次用去的，第一次用去的＋第二次用去的＋＝剩下的，第一次用去的＋第二次用去的＋剩下的＝总吨数。
【解答】800千克＝吨
（吨）
=（吨）
答：这批水泥一共有吨。
28．【分析】一杯牛奶晨晨喝了3次，加水3次，最后把一杯喝完了则晨晨肯定喝了1杯牛奶，另外加水3次，第一次加了杯，第二次加了杯，第三次加了杯，即可求出喝了几杯温开水。
【解答】温开水：（杯） 牛奶：1杯
答：晨晨喝了牛奶1杯，温开水1杯。
【点评】本题考查了分数加减法应用题，一杯牛奶总数没变。
29．【分析】第一问以彤彤为比较对象，彤彤跑的＋＝文文跑的，彤彤跑的－＝丽丽跑的，所以文文和丽丽相差（＋）千米；
第二问以彤彤为比较对象，彤彤跑的＋＝文文跑的，彤彤跑的＋＝丽丽跑的，所以文文和丽丽相差（）千米。
【解答】（千米）
（千米）
答：第一问文文和丽丽所跑的路程相差千米，第二问文文和丽丽所跑的路程相差千米。
【点评】本题考查了分数加减法应用题，要理解题意，可画一下线段图帮助理解。
30．【分析】整个这项工作是单位“1”，三位师傅共同完成了单位“1”，而与的和是张师傅、赵师傅各自单独一人的工作量的和及李师傅单独一人工作量的2倍，因此用两个分数之和减去1就是李师傅完成了这份工作的几分之几，据此解答。
【解答】
答：李师傅完成了这份工作的。
【点评】本题的解题关键在于找到题目中关于工作量的数量关系，单位“1”的工作量＝张师傅工作量＋赵师傅工作量＋李师傅工作量，（张师傅工作量＋李师傅工作量）＋（赵师傅工作量＋李师傅工作量）－单位“1”的工作量＝李师傅工作量，再根据分数加法、减法计算方法解答。
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