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(共27张PPT)
第五章　三角函数
章末复习与总结
知识体系构建
核心考点培优
考点一
三角函数的性质
(2)关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的是_________．(写出所有正确说法的序号)
１
②④
[方法总结1]
三角函数图象与性质问题解题思路
解决三角函数的图象和性质问题，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．化简求值：
考点二
三角函数式化简
2
[方法总结2]
三角函数式化简的分类与解题技巧
1．三角函数式的化简，主要有以下几类：(1)三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的是化归思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．
2．化简三角函数式时：(1)若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；
(2)若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分．
考点三
三角函数式求值
3
[方法总结3]
三角函数式求值的类型与方法
三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角．
1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．
2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变换中的拆角变换及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．
3．已知三角函数值求角问题，通常分两步：
(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)，确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．(2)根据角的范围确定角．必要时，可利用值缩小角的范围．
几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
考点四
三角恒等式的证明
4
[方法总结4]
三角函数恒等式的证明策略
三角函数恒等式的证明包括无条件三角函数恒等式的证明和有条件三角函数恒等式的证明．对于无条件三角函数恒等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α．
又sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3cos(α＋β)sin α，
3sin β＝3sin[(α＋β)－α]
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
＝3cos(α＋β)sin α，
∴3sin β＝sin(2α＋β)．
考点五
三角函数的应用
(1)求s关于时间t的函数表达式；
(2)请确定θ的值，使小朋友从点A滑到O所需的 时间最短．
5
[方法总结5]
数学建模需要选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题，理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型，能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题．综合测试
(时间：120分钟　满分：150分)
　一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2rad，则该扇形的弧长为( 　 )
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
【解析】　由S＝αR2，得16＝×2R2，R＝4，所以l＝α·R＝8(cm)．故选B.
2．cos275°＋cos215°＋cos 75°·cos 15°的值是( 　 )
A. B．
C． D．1＋
【解析】　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝.故选A.
3．已知角θ终边经过点(3，－4)，则等于( 　 )
A. B．－
C． D．－
【解析】　由已知，tan θ＝－，所求原式可化为＝－＝.故选C.
4．若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，沿y轴向下平移1个单位长度，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为( 　 )
A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1 D．y＝sin－1
【解析】　把函数y＝sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 2x，沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1.故选B.
5．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则sin α的值是( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　由0<α<<β<π，知<α＋β<，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，得sin β＝，cos(α＋β)＝－.∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝.故选C.
6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值可以是( 　 )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝－
【解析】　由图象知，T＝4＝4π＝，∴ω＝.又当x＝时，y＝1，∴sin＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.故选C.
7．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x＝－＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈.故选B.
8．函数f(x)＝x－|sin 2x|在上零点的个数为( 　 )
A．2 B．4
C．5 D．6
【解析】　分别作出函数y＝x和y＝|sin 2x|的图象，如图所示．
由图可知，这两个函数图象在上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝x－|sin 2x|在上的零点个数为5.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．与角－终边相同的角是( 　 )
A. B．
C． D．－
【解析】　与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z.令k＝1，可得与角－终边相同的角是，令k＝－1，可得与角－终边相同的角是－，故选CD.
10．下列结论正确的是( 　 )
A．－是第二象限角
B．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π
C．若tan α＝3，则＝4
D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π
【解析】　根据象限角的范围，－为第二象限角，故A正确；因为函数y＝sin x的最小正周期是2π，所以函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π，故B正确；若tan α＝3，则＝＝2，故C错误；若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为S＝·π·6＝3π，故D正确．故选ABD.
11．已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，则( 　 )
A．函数f(x)在区间上为增函数
B．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
C．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到
D．对任意x∈R，恒有f(x＋π)＝f(x)
【解析】　f(x)＝sin 2x－＝sin－.当x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故A中说法正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，显然直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故B中说法正确；函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin＝sin的图象，故C中说法错误；f(x)的最小正周期为＝π，故D中说法正确，故选ABD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．计算sin 330°＋cos 240°＋tan 180°＝ －1　.
【解析】　原式＝－sin 30°－cos 60°＋0＝－－＝－1.
13．已知cos＝，－<α<0，则sin＋sin α＝ －　.
【解析】　sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝sin＝－cos＝－×＝－.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为 f(x)＝2sin　，方程f(x)＝m(其中1【解析】　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，可得A＝2，f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，再根据五点法可得ω·＋＝π，得ω＝2，故函数f(x)＝2sin.因为函数f(x)＝2sin在区间[0,3π]内与直线f(x)＝m(其中1四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记∠AOB＝θ，且sin θ＝.
(1)求点B的坐标；
(2)求的值．
【解析】　(1)设点B坐标为(x，y)，
则y＝sin θ＝.
因为点B在第二象限，x＝cos θ＝－，
所以点B的坐标为.
(2)tan θ＝＝－，
∴
＝
＝＝－.
16．(本小题满分15分)已知cos α－sin α＝，且π<α<，求的值．
【解析】　因为cos α－sin α＝，
所以1－2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝.
又α∈，
故sin α＋cos α＝－＝－，
所以
＝
＝
＝＝－.
17．(本小题满分15分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f＝，且α为第三象限角，求sin α＋cos α的值．
【解析】　(1)根据题意可知，
A＝2，＝－＝，
∴T＝＝π，解得ω＝2.
又f＝0，∴sin＝0，而|φ|<，
∴φ＝－.∴f(x)＝2sin.
(2)由f＝可得，2sin 2α＝，
即sin 2α＝.
∵α为第三象限角，
∴sin α＋cos α＝－＝－＝－.
18．(本小题满分17分)某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
【解析】　(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，得sin t≥－，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0,24]，
所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
19．(本小题满分17分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数F(x)＝32＋mf＋2在区间上有四个不同的零点，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)根据f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，
A＝1，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2.
由“五点法”作图知，2×＋φ＝，解得φ＝.
∴函数f(x)＝sin.
(2)∵f＝sin＝sin 2x，
∴函数F(x)＝32＋mf＋2
＝3sin22x＋msin 2x＋2.
设t＝sin 2x，由x∈，得2x∈[0，π]，
故sin 2x∈[0,1]，∴g(t)＝3t2＋mt＋2，t∈[0,1]．
令g(t)＝0，则3t2＋mt＋2＝0在[0,1]上有两个不等的实数根，设为t1，t2，则
即
解得－5∴实数m的取值范围是(－5，－2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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