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2024-2025学年五年级下册数学易错题型
（奥数）第八单元 数学广角—找次品奥数思维训练
答案解析
一、填空题
1．有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称（ ）次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
【答案】3
【解题思路】第一次：把24个玻璃球平均分成三份（8，8，8），每份8个，任意取两份，分别放在天平两端，若平衡，则较轻的在未取的8个中；若不平衡，较轻的在较高端；
第二次：把8个玻璃球分成三份（3，3，2），把其中3个两份放在天平两端，若天平平衡，较轻的在未取的2个中，若不平衡，较轻的在较高端；
第三次：把天平较高的3个玻璃球分成三份（1，1，1），任取两个放在天平两端，若天平平衡，未取的就较轻的，若天平不平衡，较高的记为较轻的，由此可知，至少需要3次才能保证找出这个略轻的玻璃球，据此解答。
【详细解答】根据分析可知，有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称3次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
【考点点评】本题考查找次品问题，关键是尽量将玻璃球平均分成三份。
2．这批零件共28个，只有一个略轻，其余质量相同。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这个略轻的零件。
【答案】4
【解题思路】把28个零件分成9、9、10这样的3份，在天平的两端各放9个，会出现两种情况：
一、平衡，次品在第3份中，把第3份的10个零件分成3、3、4这样的3份，在天平的两端各放3个，（1）平衡，次品在剩下的4个中，将剩下的4个分成1、1、2这样的3份，在天平的两端各放1个，①平衡，次品在第3份中，把第3份的2个零件在天平的两端各放1个，轻的是次品，②不平衡，轻的1个是次品，（2）不平衡，轻的3个中含有次品，把这3个零件平均分成3份，每份1个，在天平的两端各放1个，①平衡，剩下的1个是次品，②不平衡，轻的1个是次品；
二、不平衡，轻的9个零件中含有次品，把这9个零件平均分成3份，每份3个，在天平的两端各放3个，（1）平衡，次品在第3份中，将第3份的3个零件在天平的两端各放1个，①平衡，次品是剩下的1个，②不平衡，轻的1个是次品，（2）不平衡，轻的3个中含有次品，同样把这3个零件平均分成3份，每份1个，在天平的两端各放1个，①平衡，剩下的1个是次品，②不平衡，轻的1个是次品。
【详细解答】通过分析可得：如果用天平称，至少称4次可以保证找出这个略轻的零件。
【考点点评】本题考查找次品问题，关键是尽量将零件平均分成3份。
3．有9盒饼干，其中8盒质量相同，另外1盒少了几块。假如用天平秤，至少称（ ）次能保证找出这盒饼干。
【答案】2
【解题思路】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详细解答】第一次：把9盒饼干平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即在未取的3盒中，若天平秤不平衡（再按照下面的方法操作）；第二次：把天平秤较高端的3盒饼干，任取2盒，分别放在天平秤2端，若天平秤平衡，则质量不足那盒即是未取的那盒，若天平秤不平衡，天平秤较高端的那盒即为质量不足那盒，则至少称2次能保证找出这盒饼干。
【考点点评】本题考查找次品问题，解决这类问题的关键是将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份。
4．有28个羽毛球（外观完全相同），其中有1个次品略轻一些，至少称（ ）次就能找出这个次品羽毛球。
【答案】4
【解题思路】找次品时把物品数量尽可能平均分，先称其中相同数量的两组，分天平平衡和不平衡两种情况依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详细解答】第一次称：把28个羽毛球平均分成2组，每组14个，放在托盘上称，哪一组轻就是次品所在的组；
第二次称：把次品所在组的14个羽毛球，平均分成2组，每组7个，放在托盘上称，哪一组轻就是次品所在的组；
第三次称：把次品所在组的7个羽毛球，平均分成3组，分别是2个，2个，3个，先把2个一组的放在托盘上称，平衡则未称的那一组就是次品所在组，若不平衡，则哪一组轻就是次品所在的组；
第四次称：若次品所在组是2个羽毛球的那一组，则放在托盘上称，轻的那一个就是次品；若次品所在组是3个羽毛球的那一组，选两个则放在托盘上称，不平衡则轻的那一个就是次品，平衡则未称的那一个是次品。
所以至少称4次就能找出这个次品羽毛球。
【考点点评】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法，尽量把它们平均分。
5．有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称（ ）次可以保证把次品找出来。
【答案】3
【解题思路】把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5放在天平两端，分两种情况进行分析；当天平不平衡时，将5分为2、2、1，将两个2放在天平两端，利用与上一步相同的方法分析，直到找到次品为止，据此解答即可。
【详细解答】第一次称量：把11个零件分成3份，分别为5、5、1，将两个5的放在天平两端，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品就是余下的那一个；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的5个中，继续称量。
第二次称量：将5个零件分为2、2、1，将两个2放在天平两端，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品是余下的那一个；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上翘的一边的2个中，继续称量。
第三次称量：将2个零件分别放在天平两旁，则次品在托盘上翘的一端。
综上可知，至少称3次可以保证把次品找出来。
【考点点评】本题考查了找次品的应用，解答此题的关键是：将11个零件进行合理分组，进而逐步找出次品。
6．在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片。
【答案】2 5
【解题思路】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【详细解答】把8瓶钙片分成3份，即（3，3，2）；
第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3瓶钙片分成3份，即（1，1，1）；
第二次称，天平两边各放l瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那一瓶；
所以分成3份（3，3，2），用天平称2次，就一定能找出次品。
把82瓶钙片分成3份，即（27，27，28）；
第一次称，天平两边各放27瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的27瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的28瓶中。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的28瓶钙片分成3份，即（9，9，10）；
第二次称，天平两边各放9瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那9瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那10瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；
第三次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那3瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那4瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4瓶钙片分成2份，即（2，2）；
第四次称，天平两边各放2瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那2瓶。再把有次品的2瓶钙片分成2份，即（1，1）；
第五次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那1瓶；
所以，至少称5次能保证找出次品钙片。
【考点点评】在找次品问题中，为确保用最少的次数能够找到次品，考虑最不利原则并且每次把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
7．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有（ ）个，最多有（ ）个。
【答案】10 27
【解题思路】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻）
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，3，需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次；……据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【详细解答】3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3
＝9×3
＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【考点点评】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
8．泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称（ ）次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
【答案】4
【解题思路】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。先把81件平均分成3组，每组27件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的27件平均分成3组，每组9件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的9件平均分成3组，每组3件，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的3件平均分成3组，每组1件，通过称量1次可找出次品。即至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
【详细解答】81＝3×3×3×3＝34
所以至少要称4次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
【考点点评】测n次可以从[（n－1）个3相乘的积＋1]个物品到（n个3相乘的积）个物品之中找出次品。因为每次称量，都可以把待测物品平均分成三组，确定次品在其中一组当中。
二、选择题
9．土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找出这包土笋冻。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解题思路】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详细解答】将28包分成3份：9，9，10；第一次称重，在天平两边各放9包，手里留10包；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的10包分为3，3，4，在天平两边各放3包，手里留4包，
a.如果天平平衡，则次品在手里4包中，接下来，将手里的4包分为1，1，2，在天平两边各放1包，手里留2包，
①如果天平平衡，则次品在手里的2包，将这2包分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的一边；
b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9包中，将这9包分成三份：3，3，3，在天平两边各放3包，手里留3包，
a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3包中，
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
b.如果天平平衡，则次品在手中的3包中。
接下来，将这3包分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1包，手里留1包，称重第三次就可以鉴别出次品。
综上可得：至少称4次能就能保证可以找出这一包。
故答案为：D
【考点点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
10．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（ ）次能保证找出这盒月饼。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【详细解答】将9盒月饼平均分成3份，每份3盒，任选其中的两份先称重，出现两种情况：
情况一：分成3组，每组3盒，如果第一次测量的两组不平衡，说明次品在这其中，剩下一组是正品组的，那么进行第二次测量：1.拿下轻的一组和正品组比，平衡的话，说明次品在重的那组，也说明了次品比正品重。2.拿下轻的那组和正品比，不平衡的话，说明次品就在轻的这一组，也说明了次品比正品轻。找出次品所在的一组后，进行第三次测量，3盒里面找出次品，只需要1次就够了。
情况二：第一次，如果天平平衡，说明不一样重的在剩下的3盒月饼里，把剩下的3盒平均分成3份，每份1盒，第二次称，任意选两份放在天平两边，又分两种情况：
①天平平衡，说明剩下的1盒是不一样的，共需称2次；
②天平不平衡，还需要拿下一盒再称一次，才能确定哪盒质量不同，共需称3次。
综上，至少称3次能保证找出这盒月饼。
故答案为：B
【考点点评】本题考查找次品问题，因为质量不同的月饼不知道是轻还是重，需要多次称重才能确定次品在哪一份里，需分情况讨论。
11．判断下面的说法，正确的有（ ）个。
①棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等；
②比大，比小的分数只有1个；
③老师用“不空闲通知法”打电话通知14名学生（通知1人要1分钟），最少需要4分钟；
④用天平秤称的方式从8个零件中找一个次品（次品稍重），至少要2次才能保证找出来；
⑤分数单位是的最简真分数的和是2。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】一个棱长6dm的正方体，它的体积和表面积数值相等，但意义不同，体积单位和面积单位，单位不同，不能直接比较；
比大，又比小的同分母的分数只有一个是，而不是同分母的分数有很多；
每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，由此找出通知14个人需要的时间；
天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小；
先写出分数单位是的所有最简真分数，再进一步求和即可。
【详细解答】①正方体的表面积和体积意义不同，计算方法不同，计量单位不同，无法进行比较；所以棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等是错误的；
②比大，又比小的同分母的分数只有一个是，而不是同分母的分数有很多，比如：、、等，有无数个，所以原题表述不正确；
③第一分钟老师和学生一共有2人；第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2＝2人，第二分钟老师和学生一共有：2＋2＝4人；第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4＝4人，第二分钟老师和学生一共有：4＋4＝8人；第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8＝8人，第三分钟老师和学生一共有：8＋8＝16人；16＞14，所以用4分钟就可以通知到所有人，原题表述正确；
④第一次称量：把8个零件分成3份，3、3、2，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边一边1个，则托盘上升一边为次品；情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；综上所述，至少需要称2次，才能找到次品，原题表述正确；
⑤分数单位是的最简真分数有：、、、
＋＋＋
＝＋＋
＝＋
＝
＝2
原题表述正确。
正确的说法有3个。
故答案为：B
【考点点评】本题考查了数量的比较、分数间分数个数知识、最优问题、利用天平判断物体质量的技能、明确最简真分数的概念。
12．有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称（ ）一定能找出这枚硬币。
A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定
【答案】B
【解题思路】将这3枚硬币编号为1号、2号、3号，先将1号、2号称量，若平衡，3号就是要找的；若不平衡，3号为标准的，再将1号、3号称量，若平衡，2号就是要找的，若不平衡，1号就是要找的。
【详细解答】有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称2次一定能找出这枚硬币；
故答案选：B。
【考点点评】需要注意的是，本题中并不知道这枚硬币是比标准硬币轻，还是比标准硬币重，所以并不用三分法的结论求解。
13．16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解题思路】可运用“三分法”及“尽量均分”的原则，将16个零件先分为3组，分别是5、5、6，接着逐次在天平上称量，直到找到重一些的那个零件，就是次品。
【详细解答】如图：
结合图示可知，至少称3次能保证找到次品。
故答案为：C。
【考点点评】零件总数的数据稍大一些，在分配及称量的过程中可能会比较繁琐，故在完成称量时，要返回第一个步骤，仔细检查一遍；此外，经过一系列的思辨过程，能够理解“三分法”及“尽量均分”的优化策略是解题关键。
14．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。
A．8 B．32 C．81 D．96
【答案】C
【解题思路】将选项中的个数分成3份，逐项分析。
【详细解答】A.8（3、3、2），两次即可；B.32（11、11、10），4次即可；C.81（27、27、27），27（9、9、9），9（3、3、3），4次即可；D.96（32、32、32），需要5次。
故答案为：C
【考点点评】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
三、解答题
15．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？
【答案】27个
【解题思路】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品；
（2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品；
（3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。
【详细解答】当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。
答：这堆玻璃球最多有27个。
【考点点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
16．有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？
【答案】2次
【解题思路】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详细解答】先把28个分为（9，9，10）：天平两端各放9个，①平衡：则次品在10个中，把10个的放在天平一端，然后把正品的两组9个任意一组添上1个，变成10个，和含有次品的10个分别放在左右两端，就能确定次品的轻重了；②不平衡：则次品在9个中，则余下的10个是正品，把任意一组9个，放在天平一端，再把10个一组的减去1个，变成9个，放在天平另一端，从而确定次品的轻重。所以至少要称2次能知道这个次品球是轻还是重。
【考点点评】本题主要考查找次品的实际应用，解题时注意本题不是找出次品而是确定次品是轻还是重。
17．有7袋糖，其中6袋每袋800克，另一袋不是800克，至少称几次可以把它找出来？
【答案】3次
【解题思路】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。
【详细解答】用①、②、③、④、⑤、⑥、⑦分别表示这7袋糖，另一袋不是800克，但不知道是比800克重还是轻。把这7袋糖分成三份，即①②为一份、③④为一份、⑤⑥⑦为一份。
（1）把①②和③④分别放在天平两边，如果天平平衡，说明次品在⑤⑥⑦中；把①②和⑤⑥分别放在天平两边，如果天平平衡，说明⑦是次品；如果天平不平衡，说明次品在⑤⑥中；再把①和⑤分别放在天平两边，如果天平平衡，说明⑥是次品；如果天平不平衡，说明⑤是次品。即至少称3次可以把次品找出来。
（2）把①②和③④分别放在天平两边，如果天平不平衡，说明次品在①②③④中；把①和②分别放在天平两边，如果天平平衡，说明次品在③④中；再把①和③分别放在天平两边，如果天平平衡，说明④是次品；如果天平不平衡，说明③是次品。把①和②分别放在天平两边，如果天平不平衡，说明次品在①②中；再把①和③分别放在天平两边，如果天平平衡，说明②是次品；如果不平衡，说明①是次品。即至少称3次可以把次品找出来。
答：有7袋糖，其中6袋每袋800克，另一袋不是800克，至少称3次可以把它找出来。
【考点点评】解决此题时应注意次品的质量可能比合格品轻，也可能比合格品重。
18．有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？
【答案】能；3次
【解题思路】有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，我们把这1袋不是400克的糖称为次品。
将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较，即可得出次品在哪一份中；再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较，即可得出次品在哪一份中；最后将含有次品的2袋，任取一袋，称重与400克作比较，即可得出次品为哪一袋。
【详细解答】第一次称：将8袋糖平均分成两份，每份4袋。任取其中一份称重与1600克作比较。如果这一份重量是1600克，则次品在未称重的4袋中，如果这一份重量不是1600克，则次品在称重的这4袋中。这样次品被锁定在了4袋中。
第二次称：再将含有次品的4袋平均分成2份，每份2袋。任取其中一份称重与800克作比较。如果这一份重量是800克，则次品在未称重的2袋中，如果这一份重量不是800克，则次品在称重的这2袋中。这样次品被锁定在了2袋中。
第三次称：将含有次品的2袋，任取1袋，称重与400克作比较，如果这一份重量是400克，则次品是未称重的那一袋，如果这一份重量不是400克，则次品就是称重的这一袋。这样次品被找到了。
因此，总共称3次就能找出来。
【考点点评】本题考查找次品，关键是次品不知轻重，但是知道非次品的标准重量，本题可通过称重的比较的方式进行求解，会比常规找次品解法更简洁明了。
19．金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？
【答案】3次；首先把24枚平均分成3份
【解题思路】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。
【详细解答】把24枚平均分成3份，每份8枚；
第一次：天平两端各放8枚，如果平衡剩下的8枚中有次品，如果不平衡，上升那端的8枚中有次品；
第二次：把8枚分成3、3、2，在天平两端各放3枚，如果平衡剩下的2枚中有次品，如果不平衡，上升那端的3枚中有次品；
第三次：次品在2枚中或者在3枚中都能一次找出次品。
答：用天平称至少称3次保证找出这枚钻戒，首先把24枚平均分成3份。
【考点点评】本题是一道关于找次品方面的题目，依据天平的平衡原理是解答本题的关键。
20．有27枚金币，其中1枚是假金币（比真金币轻一些），称3次一定能找到这枚金币吗？
【答案】一定能找到
【解题思路】分找次品的最优策略有两点：一、分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一份只相差1。这样才能保证称的次数最少，就能找出次品。二、画“次品树形”分组图，例如8个产品中有一个次品，第一次称：分成3、3、2三组，将天平两端放3个一组的，若一样重则次品在剩下的2个中，若不一样重则次品在轻的一组中；第二次称：若是2个的分别在天平两端放一个，轻的一端就是次品；若是3个的，随便取2个进行称，若一样重则次品就是没选取的，若不一样重则轻的一端是次品。
【详细解答】第一次，分成9、9、9三组，将其中2组分别放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一组总含有假金币，若天平不平衡则轻的一端含有假金币；第二次，分成3、3、3三组，将其中2组分别放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一组总含有假金币，若天平不平衡则轻的一端含有假金币；第三次，在3个中任取2个放在天平的两端，若天平平衡则没被选取的一个含有假金币，若天平不平衡则轻的一端含有假金币。所以至少需要3次才能找到假金币。故称3次一定能找到这枚金币。
【考点点评】熟悉找次品的步骤，会画“次品树形”分组图是解决此题的关键。
21．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？
【答案】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；
第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为150克。
【解题思路】由题可知，小芳和小丽合买了一袋500克的果糖，小芳只要150克，但天平只有一个100克的砝码，又限制分糖次数为两次。先将500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；然后在天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，最后在100克砝码那边加糖，使天平平衡。据此即可解答。
【详细解答】第一次：500克糖分别放在天平两边，使天平平衡，即每侧天平有250克的糖果；
第二次：天平一边放100克砝码，一边放分出的250克糖，在100克砝码那边加糖，使天平平衡，那么和砝码在一起的糖就为250－100＝150（克）。
【考点点评】此题考查的是对解决实际问题的能力，理解分两次，利用天平两边平衡，100克的砝码是解题的关键。
22．有6箱小球，每个箱子里有100个。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。每个箱了里的小球由同一车间生产，一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。如果只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次就把这个箱子找出来？
【答案】给每个箱子编号1到6，从编号为1到6的箱子里分别取出1、2、3、4、5、6个球，并编号。与对应箱号相同，共21个。称21个球的重量（如果都是正品，共重210克）。重量比210克重几克，则对应箱子里的就是次品。
【解题思路】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详细解答】给每个箱子编号1到6，从编号为1到6的箱子里分别取出1、2、3、4、5、6个球，并编号。与对应箱号相同，共21个。称21个球的重量（如果都是正品，共重210克）。重量比210克重几克，则对应箱子里的就是次品。
【考点点评】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
23．一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？
【答案】至少称4次；
将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。
【解题思路】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详细解答】将11枚硬币分成（4、4、3），先称两个4枚，①平衡，次品在3个中，将3个分成（1、1、1），称两个，平衡剩下一个是次品，不平衡，随便拿下一个与剩下的称，即可找出次品；②不平衡，次品在4个中，随便拿出一个放到3个里，确定在哪4个，再称两次确定次品是轻还是重，再称一次即可。
答：至少称4次。
【考点点评】本题考查了找次品，不知道轻重，要确定次品是轻还是重。
24．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？
【答案】能
【解题思路】将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。
【详细解答】由分析可得：将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。
答：能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子。
25．（1）如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。
（2）用你的方法称几次可以保证找出来？
（3）你能称2次就保证把它找出来吗？
（4）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？
【答案】（1）见详解；
（2）我的方法称3次可以保证找出来；
（3）不能称2次就保证把它找出来；
（4）一次有可能称出来
【解题思路】（1）由图示可知，一共有11筐桃，第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡， 则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份：1筐、1筐、1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃；
（2）用（1）的方法至少3次可以保证找到这筐桃；
（3）不能保证2次一定把它找出来；
（4）如果天平两侧各放5筐， 当天平平衡时，较轻的就是剩余的那一筐，所以称一次，有可能称出这筐桃。
【详细解答】（1）由图示可知，一共有11筐桃；第一次，把11筐桃分成3份： 4筐、4筐、3筐，取4筐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（ 4筐或3筐）分成3份： 1筐、1筐、 1筐（或2筐），取1筐的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，可找到较轻的一筐；第三次，取含有较轻的2筐，分别放在天平两侧，即可找到较轻的这筐桃；
用 代表11筐桃；
（答案不唯一）
（2）3次是从11筐中保证找出较轻的1筐的最少称量次数；
（3）为了保证找出较轻的1筐，就必须考虑各种可能的情况，而不能靠偶然机遇，所以不能称2次就保证把它找出来；
（4）只有轻的1筐正好没称，才能保证一次称出来。
【考点点评】本题主要考查了找次品的知识点，一定用考虑各种可能的情况，一一分析。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年五年级下册数学易错题型
（奥数）第八单元 数学广角—找次品奥数思维训练
一、填空题
1．有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称（ ）次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
2．这批零件共28个，只有一个略轻，其余质量相同。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这个略轻的零件。
3．有9盒饼干，其中8盒质量相同，另外1盒少了几块。假如用天平秤，至少称（ ）次能保证找出这盒饼干。
4．有28个羽毛球（外观完全相同），其中有1个次品略轻一些，至少称（ ）次就能找出这个次品羽毛球。
5．有11个零件，其中10个质量相同，另外1个略轻一些是次品，用天平称，至少称（ ）次可以保证把次品找出来。
6．在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片。
7．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有（ ）个，最多有（ ）个。
8．泉州市德化县是千年古县、世界陶瓷之都，德化陶瓷款式异彩纷呈。李老板新进了81件同样型号的德化陶瓷杯，其中80件质量相同，1件质量偏轻。如果用没有砝码的天平称，至少要称（ ）次，才能保证找出这件质量偏轻的陶瓷杯。
二、选择题
9．土笋冻是福建泉州的特色小吃，是一种由特有产品加工而成的冻品。李阿姨有28包土笋冻，其中27包质量相同，另有1包轻一些。如果用天平称，至少称（ ）次才能保证找出这包土笋冻。
A．1 B．2 C．3 D．4
10．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（ ）次能保证找出这盒月饼。
A．2 B．3 C．4 D．5
11．判断下面的说法，正确的有（ ）个。
①棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等；
②比大，比小的分数只有1个；
③老师用“不空闲通知法”打电话通知14名学生（通知1人要1分钟），最少需要4分钟；
④用天平秤称的方式从8个零件中找一个次品（次品稍重），至少要2次才能保证找出来；
⑤分数单位是的最简真分数的和是2。
A．2 B．3 C．4 D．5
12．有3枚硬币，其中有一枚和其它两枚质量不一样，用一架天平称（ ）一定能找出这枚硬币。
A．1次 B．2次 C．3次 D．无法确定
13．16个零件里有一个是次品（次品重－些）。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。
A．1 B．2 C．3 D．4
14．用一架天平称4次，最多能从（ ）个乒乓球中找出仅有1个因超重而不合格的乒乓球。
A．8 B．32 C．81 D．96
三、解答题
15．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？
16．有28个乒乓球，其中有1个球是次品，但不知道比正品轻，还是重。如果只利用没有砝码的天平来判断哪个球是次品，至少要称几次能知道这个次品球是轻还是重？
17．有7袋糖，其中6袋每袋800克，另一袋不是800克，至少称几次可以把它找出来？
18．有8袋糖，其中7袋每袋400克，另外有1袋不是400克，但不知道比400克重还是轻，你能用天平找出来吗？至少称几次？
19．金店有24枚钻戒，其中一枚质量不够，用天平称至少称几次能保证找出这枚钻戒，首先怎样分？
20．有27枚金币，其中1枚是假金币（比真金币轻一些），称3次一定能找到这枚金币吗？
21．小芳和小丽合买了一袋500克的果糖。小芳只要150克。她们准备用一台天平来分，但天平只有一个100克的砝码。如果限你两次就要把糖分好，应该怎样分？
22．有6箱小球，每个箱子里有100个。正品小球每个重10克，次品小球每个重11克。每个箱了里的小球由同一车间生产，一个箱子里有次品，则这个箱子里的球肯定都是次品。如果只有一个箱子里有次品，利用有砝码的天平，如何称一次就把这个箱子找出来？
23．一个古玩商店经理不小心将一枚假铜币混入了10个真铜币中，这10枚真铜币外形、质量完全相同，假铜币外形与真铜币一样，只是质量不一样，但不知道比真铜币轻还是重。如果用天平称，至少称几次，就能保证帮助经理从11枚铜币中找出假铜币？你能用画图和文字写出你的称法吗？
24．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？
25．（1）如果用天平称，你打算怎样称？用 表示称的过程。
（2）用你的方法称几次可以保证找出来？
（3）你能称2次就保证把它找出来吗？
（4）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？
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