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2024-2025学年湖北省武汉市武钢三中高一（下）5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，那么( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形的边长为，则这个半球的表面积是( )
A.
B.
C.
D.
4.一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为( )
A. B. C. D.
5.在中，，，若，，且，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点在底面上的射影为的中点若，为线段上的一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若，，则最大值为
C. 若，，，则满足条件的三角形有两个
D. 若，且，则为等边三角形
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，点满足，，则下列说法中正确的是( )
A. 平面
B. 若平面，则动点的轨迹长度为
C. 若，则四面体的体积为定值
D. 若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，向量在上的投影向量为，则 ______．
13.如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则点到平面的距离为______．
14.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为单位向量，且与的夹角为．
求的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线，，分别是，的中点，，．
证明：平面；
设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求角与；
若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；
若点为的重心，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点．
求证：平面平面；
求二面角的正切值；
点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值注：本题建系不得分
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数．
记的相伴函数为，当时，若，求的值；
已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；
已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，
因为，为单位向量，所以，
又因为与的夹角为，
则，
所以，
所以；
因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不同向共线，
因为，
所以，
整理得：，即，解得，
若两向量同向共线，则存在实数，
使得，即，
所以可得，将代入得，解得，
所以当两向量不同向共线时，，
综合，实数的取值范围是．
16.证明：如图，取中点，连接，，
，是，中点，所以，
平面，平面，
平面，平面，
同理可证平面，
，，平面，
平面平面，
又平面，平面；
所在的平面，平面平面，平面，
，
又平面，平面，
平面．
17.解：根据，得，整理得，
由余弦定理可得，结合，所以．
因为，所以，即，
因为，所以，结合，可得．
由，可得，解得，，
即，所以为的外心，由正弦定理，得，；
设的延长线交于点，由点为的重心，可知点为中点，
因为，所以，在中，由且，可得．
在和中，，结合余弦定理得，
整理得，可得，所以的面积．
18.证明：因为，所以，
则，
所以，
又因为，，、平面，
平面，平面，
所以平面平面；
侧棱，点为中点，
所以，又因为，所以为正三角形，取中点，
则，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
过点作交延长线于点，连接，，
因为平面，所以，又，
，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
根据定义即为二面角的平面角，
因为，
所以．
作平面，则，为在平面内的射影，
所以点，，共线，再在平面作交于点，
又因为，，、平面，
所以平面，设直线交直线于点，
则，又因为，，、平面，
所以平面，
平面，得，所以，
所以，
又因为，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，
当点为线与的交点时取到最大角．
19.解：因为的相伴函数为，
所以，
由，
可得，
又因为，
则，
故，
所以
；
因为，
所以，其中
因为函数在时取得最大值，
则，
解得，
即，
则，，，
由
，
因为，函数在上单调递减，
故当时，取得最小值，
此时取得最小值为；
因为为函数的相伴向量，
所以，
则，
又因为，
则．
如图作于点，
因为点为的外心，则，
如图，
，
则，
由正弦定理，，
则，
则，
因，
则当时，取得最大值为．
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