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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数 满足 (1 ) = 1 + ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
3.已知| | = 4，| | = 3， = 6，则向量 在 方向上的投影向量为( )
A. 3 3 38 B. 8 C. 8 D.
3
8
4.如图，△ 的斜二测直观图为等腰直角三角形 ′ ′ ′，其中 ′ ′ = 2 3，则△ 的面积为( )
A. 6 2
B. 6 3
C. 6
D. 12 2
5.若 为△ 所在平面内任一点，且满足( ) ( + 2 ) = 0，则△ 的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.在某个位置测得某山峰仰角为 ，对着山峰在地面上前进 600 后测得仰角为 2 ，继续在地面上前进
200 3 以后测得山峰的仰角为 4 ，则该山峰的高度为( )
A. 200 B. 300 C. 400 D. 100 3
7.在三棱锥 中， = = 4，∠ = 120°， = 6，点 在平面 上投影为 ，则三棱锥
的外接球的表面积为( )
A. 100 B. 75 C. 80 D. 120
8.如图，透明塑科制成的长方体容器 1 1 1 1内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再
将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
(1)有水的部分始终呈棱柱形；
(2)没有水的部分始终呈棱柱形；
(3)如图(2)所示的四边形 的面积为定值；
(4)棱 1 1始终与水面所在平面平行；
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(5)当容器倾斜如图(3)所示时， 是定值.其中所有正确命题的序号是( )
A. (1)(2)(3)(4) B. (1)(3)(4)(5) C. (1)(2)(3)(4)(5) D. (1)(2)(3)(5)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于△ ，下列说法错误的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 = 30°， = 4， = 3，则符合条件的△ 有两个
D.若 = 2， = 3，则锐角△ 周长的取值范围为(4,6]
10.如图，正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为 4， 是侧面 ′ ′上
的一个动点(含边界)，点 在棱 ′上，且| ′| = 1，则下列结论正确的
有( )
A.沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为 4 5
B.保持 与 ′垂直时，点 的运动轨迹长度为 3 2
C.若保持| | = 2 5 4 ，则点 的运动轨迹长度为 3
D.平面 ′ 被正方体 ′ ′ ′ ′截得截面为等腰梯形
11.如图，△ 为边长为 2 的等边三角形.以 的中点 为圆心，1 为半径作一个半圆，点 为此半圆弧上
的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. = 1 + 1 2 2
B. = 3
C. 的最大值为 5
D.若 = + 3+ 3，则 + 的最大值为 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在正方体 1 1 1 1中，直线 1与 1所成的角是______．
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13.△ 中， = 3, = 4, = 4，则 = ______．
14.如图，圆锥 的底面直径和高均是 2，过 的中点 ′作平行于面的截面，以该截面
为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积______；表面积为______．
四、解答题：本题共 6小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 9 分)
已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别为 ， 的中点，求异面直线 1 与 1 所成角．
16.(本小题 12 分)
已知向量 = (2,2), = (1, )．
(1)若 = 2，求 及| + |的值；
(2)若 2 + 与 平行，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角为 45°，求实数 的值．
17.(本小题 12 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 ( + )．
(1)求 ；
(2)若 = 2 2，△ 的面积为 3，求 ．
18.(本小题 12 分)
如图，已知矩形 ，过点 作 ⊥平面 ，再过点 作 ⊥ 交 于点 ，过点 作 ⊥ 交 于
点 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若平面 交 于点 ，求证： ⊥平面 ．
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19.(本小题 15 分)
已知△ ，角 1， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3， 3 + 2 = ．
(1)求角 ；
(2)求 2 + 的最大值，并求出此时△ 的周长．
20.(本小题 17 分)
如图所示，已知点 是平行四边形 所在平面外一点. ， ， 分别为 ， ， 的中点，平面 ∩
平面 = ．
(1)判断直线 与 的位置关系并证明；
(2)求证： //平面 ；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得平面 //平面 ？若存在，求出点 的位置，并加以证明；若不存在，
请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.2 2 + 1 或 2 2 1
14.5 12 (2 + 5)
15.解：取 中点 ，连接 1 ， ， ，
因为 是 中点，所以 // // 1 1且 = = 1 1，
所以四边形 1 1 为平行四边形，故 A 1 // 1 ，
所以异面直线 1 与 1 所成角即为直线 1 与 1 所成角∠ 1 ，
由题意知 1 = 1 = 5， = 2，
2 2 2
故在△ 1 中，由余弦定理得 cos∠ 1 =
1 + 1 5+5 2 4
2 1 1
= 2× 5× 5 = 5，
4
所以异面直线 1 与 1 所成角为 arccos 5．
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16.解：(1)当 = 2 时， = (1,2)，结合 = (2,2)，可得 = 1 × 2 + 2 × 2 = 6．
因为 + = (2,2) + (1,2) = (3,4)，所以| + | = 32 + 42 = 5；
(2)根据 = (2,2), = (1, )，可得 2 + = (5, + 4)，
若 2 + 与 平行，则 5 = + 4，解得 = 1；
(3)根据题意，| | = 22 + 22 = 2 2，| | = 1 + 2，
若 与 的夹角为 45°，则 = | | | | 45°，
即 2 + 2 = 2 2 1 + 2 22 ，整理得 1 + = 1 +
2，解得 = 0．
17.解：因为 = 2 ( + )．
所以 = 2 ( + )，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 1 = 2 ( + )，
因为 + = ，
所以 cos( + ) = ，
所以 1 = 2 ，
所以 2 = 1，因为 ∈ (0, )，
所以 2 ∈ (0,2 ) 3 3 ，所以 2 = 2，解得 = 4；
(2)由(1) 3 可知 = 4，
因为 = 2 2，△ 的面积 = 12 =
2
4 × 2 2 = 3，解得 = 3，
2
由余弦定理可得 2 = 8 + 9 2 × 2 2 × 3 × ( 2 ) = 29，
所以 = 29．
18.证明：(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，可得 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ，
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所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
平面 ，
所以 ⊥ ，
由(1)可得 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
19.(1)已知△ ，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3， 3 + 12 = ．
则 + 12 = ，
即 + 12 = + ，
又 > 0，
即 = 12，
又 ∈ (0, )，
则 = 3；
(2) 由正弦定理 =
= 及 = 3， =

3可得： = 2 ， = 2 ，
则 2 + = 4 + 2 = 4 + 2 ( 2 3 )
= 5 + 3 = 2 7sin( + )，其中 = 3 52 7， = 2 7，
又 + ∈ ( , 2 3 + )，

则当 + = 2，即 = 2 时，2 + 取最大值 2 7，
= 2 = 2 = 10 = 2 = 2 ( 2 此时 2 7， 3 ) = 3 + = 3 + =
8
2 7，
则此时△ 18 9 7的周长为 3 + 2 7 = 3 + 7 ．
20.(1)解：直线 与 是平行关系，
证明如下：
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在平行四边形 中，可得 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 // ；
(2)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
可得 // ， = 12 ， // ， =
1
2 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(3)解：棱 上存在点 ，使得平面 //平面 ，
取 的中点 ，连接 ， ， ，
， 分别为 ， 的中点，可得 // ， // ， = 1 12 = 2 ，
所以 与 相交，
， 平面 ， ， 平面 ， ， 平面 ，
可得平面 //平面 ，
所以 为 的中点满足条件．
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