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2024-2025 学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）5 月段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = ， = { | 2 4 + 3 ≤ 0}， = { || 3| > 1}，则 ∪ =( )
A. { |1 ≤ ≤ 4} B. { |2 ≤ ≤ 3} C. { |1 ≤ < 2} D. { |2 < ≤ 3}
2 1 1.已知 ： 2 < 2， ： > > 0，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知曲线 ( ) = ln( )的一条切线为 = + ，则 =( )
A. 1 1 B. 2 C. 0 D. 1
4.为研究变量 ， 的相关关系，收集得到下列五个样本点( , )：
5 6.5 7 8 8.5
3 4 6 8 9

若由最小二乘法求得 关于 的回归直线方程为 = 1.8 + ，则据此计算残差为 0 的样本点是( )
A. (6.5,4) B. (7,6) C. (8,8) D. (8.5,9)
5 1 1.若函数 ( ) = | 2 ( 2) + 1|在[ 2 , 2 ]上单调，则实数 的取值范围为( )
A. [ 1 9 12 , 1] ∪ [3, 2 ] B. [ 2 , 2] ∪ [3,
9
2 ] C. [
1 9
2 , 1] ∪ [3, 2 ] D. [
1
2 , 2] ∪ [3,
9
2 ]
6.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡肉、鸡脯肉、
香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在
鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有( )
A. 6 种 B. 12 种 C. 36 种 D. 72 种
7.已知函数 ( )同时满足下列条件：①定义域为 ；② (1) = 1；③ ( + 1)为偶函数；④ (2 ) = (2 + )，
则 ( 2) + (7) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
8.若不等式 ( 2) + 3( 2) ≥ + 3 对任意 ∈ (0, + ∞)恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. [1 1, + ∞) B. [2 1, + ∞) C. [2 + 1, + ∞) D.以上均不正确
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A.线性回归方程中，若线性相关系数 越大，则两个变量的线性相关性越强
B.若 ～ ( , 2)，若函数 ( ) = ( ≤ ≤ + 1) 1为偶函数，则 = 2
C.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 3.937，依据 = 0.05 的独立性检验( 0.05 = 3.841)，
可判断 与 有关且犯错误的概率不超过 0.05
D.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
10.若 ， > 0，且 + = 1，则( )
2 2
A. + ≤ 2 B. 1 +
4 2 2 5
≥ 9 C. + 4 ≥ 4 D.

+ ≥ 1
11.已知函数 ( ) = ， ( ) = ，则下列说法正确的是( )
A. ( )在(0, + ∞)上是增函数
B. > 1，不等式 ( ) ≥ ( 2) 2恒成立，则正实数 的最小值为
C.若 ( ) = 有两个零点 1， 2，则 1 + 2 > 0
D. 1若 ( 1) = ( 2) = ( > 2)，且 2 > 1 > 0，则 的最大值为2 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.端午节思原煮了 8 个粽子，其中 5 个甜茶粽和 3 个艾香粽.思原随机取出两个，事件 为“取到的两个为
同一种馅”，事件 为“取到的两个都是艾香粽”，则 ( | ) = ______．
13.定义在 上的函数 = ( )和 = ( )的图象关于 轴对称，且函数 = ( 2) + 1 是奇函数，则函数
= ( )图象的对称中心为______．
14.已知函数 ( ) = | 2 + | + 2| |，当 ∈ [ 2,2]时，记函数 ( )的最大值为 ( )，则 ( )的最小值为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = 2 + + ln(4 )的定义域为 ，集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}( ∈ )．
(1)求集合 ；
(2)若 ： ∈ ， ： ∈ ，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = +11+ 2是 上的偶函数
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(1)求实数 的值，判断函数 ( )在[0, + ∞)上的单调性(不必证明)；
(2)求函数 ( )在[ 3,2]上的最大值和最小值．
17.(本小题 15 分)

已知二项式( + )
( ∈ )的展开式中，________给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是 1：4；
②各项系数之和为 512；
③第 7 项为常数项．
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题．
(1)求实数 和 的值；
(2)求( 1)( + ) 的展开式中的常数项．
18.(本小题 17 分)
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍
5( 2 + 3), 0 ≤ ≤ 2
惜水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系： ( ) = 50 ，
1+ , 2 < ≤ 5
肥料成本投入为 10 元，其他成本投入 20 元，已知这种水果的市场售价大约 15 元/千克，且销售畅通供
不应求，记该水果单株利润为 ( )(单位：元)．
(1)写出单株利润 ( )(元)关于施用肥料 (千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ， ( ) = 1 1 ．
(1)当 > 1 时，比较 ( )和 ( )的大小关系；
(2)证明： = ( )的图象与 = ( )的图象关于直线 + 1 = 0 对称；
(3) 在平面直角坐标系中，若以 (1,0)为圆心的圆交 = | ( )|的图象于 ， 两点，证明：∠ < 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 313
13.(2, 1)
14.92
15.解：(1)要使得函数 ( )有意义，
2 + ≥ 0
只需要 4 > 0，解得 2 ≤ < 4，
所以集合 = { | 2 ≤ < 4}．
(2)因为 是 的必要不充分条件，所以 ，
当 = 时， + 1 > 2 1，解得 < 2；
+ 1 ≤ 2 1
当 ≠ 时， + 1 ≥ 2 5，解得 2 ≤ < 2，
2 1 < 4
5
综上可知，实数 的取值范围是( ∞, 2 )．
16. (1) ( ) = +1解： 若函数 1+ 2是 上的偶函数，则 ( ) = ( )，
( )+1 +1
即 1+( )2 = 1+ 2，解得 = 0，
( ) = 1所以 1+ 2，
函数函数 ( )在[0 + ∞)上单调递减．
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(2)由(1)知函数 ( )在[0 + ∞)上单调递减，
又函数 ( )是 上的偶函数，
所以函数 ( )在( ∞,0]上为增函数，
所以函数 ( )在[ 3,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．
1
又 ( 3) = 10 , (0) = 1, (2) =
1
5，
所以 ( ) = ( 3) =
1
10， ( ) = (0) = 1．
1
17.解：(1) 由①可知 1 2 = 4，解得 = 9；由②得令 = 1 得(1 + )
= 512；

由③得 6 6( )6 = 6 6 6 3 ，要使该项为常数，则 = 9；
所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；
这两种组合都会得到 = 9，
所以(1 + )9 = 512，解得 = 1；
(2)由(1)可知 = 9， = 1，
所以有( 1)( + ) = ( 1)( +
1 9
) = ( +
1 9 1 9
) ( + ) ，
3 1 1 3
所以常数项为 2 9 ( ) 9 9 9 ( ) = 9 2
+9 2 9 9 2，
3
令2+ 9 2 = 0,9 2 = 0，解得 = 7， = 6；
所以常数项为 79 69 = 48．
18.解：(1)依题意， ( ) = 15 ( ) 10 20 ，
5( 2 + 3), 0 ≤ ≤ 2
又 ( ) = 50 ，
1+ , 2 < ≤ 5
75 2 30 + 225,0 ≤ ≤ 2
则 ( ) = 750 ；
1+ 30 , 2 < ≤ 5
(2)由(1)得：当 0 ≤ ≤ 2 时，
( ) = 75 2 30 + 225，
( ) 1开口向上，对称轴方程为 = 5，
|2 1又 5 | > |0
1
5 |，
此时 ( )的最大值为 (2) = 465；
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当 2 < ≤ 5 750 时， ( ) = 1+ 30
25
= 780 30(1+ + 1 + )
≤ 780 60 251+ × (1 + ) = 480，
25
当且仅当1+ = 1 + ，即 = 4 时取等号，
因为 465 < 480，
所以当施肥量为 4 千克时，利润最大，最大利润是 480 元．
19.
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