资源简介

2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学等校联考高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量满足，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知为椭圆：上一点，则的焦距为( )
A. B. C. D.
4.某高校的教授为了完成一个课题，将名研究生助理分配到个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去个实验室进行实验，且每个实验室至少安排名研究生助理，则不同的安排方法的种数为( )
A. B. C. D.
5.二项式展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知某正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则该三棱锥的侧棱长为( )
A. B. C. D.
7.研究表明某生物种群的数量单位：千只与时间，单位：年的关系近似地符合函数，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为只则该生物种群数量的增长速度( )
A. 先增大后减小 B. 先减小后增大 C. 逐年减小 D. 逐年增大
8.记为数列的前项和已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现用，，，，共个数字组成四位数，则( )
A. 可以组成个无重复数字的四位数 B. 可以组成个有重复数字的四位数
C. 可以组成个无重复数字的四位偶数 D. 可以组成个百位为奇数的四位偶数
10.已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有( )
A. B. C. D.
11.某汽车零件制造厂使用最新技术对某款汽车零件制造工艺进行改进，抽取部分汽车零件由智能检测系统进行筛选，其中部分次品汽车零件会被淘汰，筛选后的汽车零件进入流水线由工人进行检验，记事件：“抽取的某汽车零件通过智能检测系统筛选”，事件：“抽取的某汽车零件经人工检验后合格”，且改进生产工艺后，这款汽车零件的抗压质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个汽车零件中恰有个的抗压质量指标位于区间，则( )
参考数据：，
A.
B.
C.
D. 当取得最大值时，的估计值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在点处的切线斜率为，则 ______．
13.一枪手进行射击训练，共射击次，每次命中概率相同，且每次射击相互独立，总共命中次的概率和总共脱靶次的概率相同，则其命中的概率为______．
14.定义在上的函数满足对于任意实数，均有，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式．
求展开式中的常数项；
求展开式中二项式系数最大的项．
16.本小题分
某高中为了了解同学们对我国四大名著相关文学的掌握情况，从高二年级的学生中随机抽取了名同学分成，两个小组进行了相关测试满分为分，测试结束后统计成绩如表：
分别计算组成绩的极差和组成绩的第百分位数；
若对于本次测试，规定：成绩分时为优秀，从组中随机抽取名学生，再从组中随机抽取名学生，用随机变量表示这两人的成绩为优秀的人数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，长方体中，，，，．
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
甲和乙两人进行足球射门比赛规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局已知每局比赛中，甲赢乙的概率为，其中．
记比赛结束时，甲赢的次数为，求的分布列；
记为甲和乙进行了局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率若，求的取值范围．
19.本小题分
若集合，满足：，，且，，则称，互为对偶集已知函数，定义，．
，时，证明：，；
证明：存在，使得无论取何值，与均互为对偶集；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.二项式的通项，，，，，．
令，解得，
故展开式中的常数项为；
依题意，展开式中二项式系数最大的项为中间项，即第项，．
16.由表格可得组成绩的极差为，
因为，
所以组成绩的第百分位数为；
根据题意得，组中优秀的学生有人，组中优秀的学生有人，
所以的可能取值为，，，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以．
17.证明：因为，，
，
故EF，
所以，又，
故EF，
取中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，故E，
所以、、、四点共面．
易知四边形为正方形，故DG，
又平面，平面，
故FD，
而，、平面，
故DG平面因为平面，
所以，
又，G、平面，
所以平面，而平面，
故平面平面；
以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，，，
设平面的一个法向量，
则，
可取，
设平面的一个法向量，
则，
可取，
则，
故二面角的正弦值为．
18.根据题意，则所有可能的取值为，，，，
于是，
，
，
，
的分布列为：


记事件为“进行了局比赛分出胜负”，
则，
记事件为“甲获胜”，则事件表示“进行了局比赛以后甲获胜”，
则，
进行了局比赛分出胜负的情况下，
甲获胜的概率为，
记事件为“进行了局比赛分出胜负”，
则，
则表示“进行了局比赛以后甲获胜”，
则，
进行了局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为：
，
，
解得，
的取值范围是．
19.证明：由题意知，，
则，因此在上单调递减，
，，又，所以．
证明：观察发现，，
取，现证与互为对偶集，
，，则，即，由定义知，，
同理可知，，，
所以当时，与互为对偶集．
解：构造函数，则，即的充分必要条件为，
若，又，由于的图象在上连续不断，
故，使得，则与矛盾，
因此，代入解得．
若，则，不符合题意，舍去．
若，此时在上恒成立，
此时在上单调递增，则在上单调递增，
又，所以在上恒成立，符合题意．
综上，的取值范围是．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑