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2024-2025 学年海南省海口市海南中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数 满足(1 + ) = ，则 =( )
A. 1+ B. 1 C. 1+ 2 2 2 D.
1
2
2.若{ 1, 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. { 1
1
2, 2 1} B. {2 1 2, 1 2 2}
C. {2 2 3 1, 6 1 4 2} D. { 1 + 2, 1+ 3 2}
3.已知向量 = (1,0)， = (1,1)，若( + ) ⊥ ，则实数 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
4.下列命题中为真命题的是( )
A.圆柱的侧面展开图是一个正方形
B.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱
D.球体是旋转体的一种类型
5.已知 ， 是两个单位向量，且向量 + 4 在向量 上的投影向量为 3 ，则向量 ， 的夹角 =( )
A. 3 B.

4 C.

6 D.

3
6.已知复数 满足| 2 2 | = 2，则| |最大值为( )
A. 2 2 B. 2 C. 2 2 + 1 D. 2 2 + 2
7.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + 3 = 0，若 是 13的中点， = 2 ，
= 3，则 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.已知向量 ， ， 满足| | = 1，| | = 3， = 3，< ， 2 >= 30°，则| |的最大值等于( )
A. 2 7 B. 7 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
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A.若| 1| ≤ 1，则 1 ≤ 1 ≤ 1 B.若| 1| + | 2| = 0.则 1 = 2 = 0
C.若| 2 21| = | 2|，则 1 = 2 D.若 1 > 2，则 1 2 > 0
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 2 + 2 > 2，则△ 为锐角三角形
C.若 = ，则△ 为等腰三角形
D.若 = 2， = 3，的三角形有两解，则 的取值范围为( 3, 2)
11.如图，圆锥 底面圆的圆心为 ， 是圆 的一条直径， 与底面所成角的正弦值为2 2， = 4，
3
是母线 的中点， 是母线 上一动点，则下列说法正确的是( )
A.圆锥 的母线长为 12
B.圆锥 的表面积为 16
C.一只蚂蚁沿圆锥 的侧面上的曲线 从点 爬到点 处，在蚂蚁所爬的最短路
3 21
径中，这只蚂蚁离圆锥 的顶点 的最短距离是 7
D.在圆锥 16 6内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 的夹角为 45°，且| | = 1，| | = 2，则| + 2 | = ______．
13.已知水平放置的四边形 按斜二测画法画出的直观图 ′ ′ ′ ′如图
所示，其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ = 2， ′ ′ = 4， ′ ′ = 1，则四边
形 的面积为______．
14.已知圆台上底面的半径为 3，下底面的半径为 4，高为 7，圆台上、下底面的
圆周都在同一个球面上，则该球的体积是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 且( + )( + ) = + 3 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 13，且△ 的面积为 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
在正方体 1 1 1 1中，棱长 = 2， ， ， 分别是 1 ， 1 1， 1 1的中点．
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(1)直线 1 1交 于点 ，直线 1交平面 于点 ，求证： ， ， 三点共线．
(2)求三棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
如图，观测站 在目标 的南偏西20°方向，经过 处有一条南偏东40°走向的公路，在 处观测到与 相距31
的 处有一人正沿此公路向 处行走，走 20 到达 处，此时测得 ， 相距 21 ．
(1)求 sin∠ ；
(2)求 ， 之间的距离．
18.(本小题 17 分)
如图所示，已知点 是平行四边形 所在平面外一点， ， ， 分别为 ， ， 的中点，平面 ∩
平面 = ．
(1)判断直线 与 的位置关系并证明；
(2)求证： //平面 ；
(3)直线 上是否存在点 ，使得平面 //平面 ？若存在，求出点 的位置，并加以证明；若不存在，
请说明理由．
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19.(本小题 17 分)
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，
此概念逐渐被数学家接受.形如 = + ( , ∈ )的数称为复数的代数形式，而任何一个复数 = + 都
可以表示成 ( + ) = ,的形式，即 = ,其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角，我们规定 0 ≤ <
2 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .复数 = ( + )叫做复数的三角形式.由复数的三角
形式可得出，若 1 = 1( 1 + 1)， 2 = 2( 2 + 2)，则 1( 1 + 1) 2( 2 +
2) = 1 2[cos( 1 + 2) + ( 1 + 2)].其几何意义是把向量 1绕点 按逆时针方向旋转角 2(如果
2 < 0，就要把 1绕点 按顺时针方向旋转角| 2|)，再把它的模变为原来的 2倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将 = 1 + 3 写成三角形式(辐角取主值)．
(2) 1类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数 ( ) = + ，
∈ ， ∈ ．
1
①当 = 1 时，解关于 的方程 ( ) = 2；
②当 = 2 时，若存在实部不为 0，且虚部大于 0 的复数 和实数 ，使得 ( ) ≥ 成立，复数 在复平面上
对应的点为 ，点 (2,0)，以 为边作等边△ ，且 在 的上方，求线段 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13
13.6
14.500 3
15.解：(1)因为( + )( + ) = + 3 ，
由正弦定理得( + )( + ) = 2 + 3 ，整理得 2 + 2 2 = ，
2 2 2
所以 = + 12 = 2，
且 ∈ (0, ) = ，故 3；
(2) ∵ = 3，
∴ = 32 ，
由 △ =
1
2 = 3得 = 4，
又由余弦定理 2 = 2 + 2 2 得 2 + 2 = 17，∴ ( + )2 2 = 17，
解得 + = 5，
∴△ 的周长为 + + = 5 + 13．
16.证明：(1) ∵ 1 1 ∩ = ，
∴ ∈ 1 1， ∈ ，
则 ∈平面 1 1 ， ∈平面
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又∵ ∈ 1，
∴ ∈平面 1 1 ，
又 ∈平面 ，
∴平面 1 1 ∩平面 = ，
∵ 1 ∩平面 = ，
∴ ∈平面 ， ∈平面 1 1 ，
∴点 在直线 上，则 ， ， 三点共线．
1
解：(2) = = 3 △ 1，
1 1 1 3又 △ = 2 × 2 2 × 2 × 1 2 × 1 × 1 2 × 2 × 1 = 2，
∴ =
1
3 ×
3 1
2 × 1 = 2．
17.解：(1)根据题意，在△ 中， = 20 ， = 21 ， = 31 ，
2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = + = 400+441 961 12 2×20×21 = 7，
结合 0° < ∠ < 180°，可得 sin∠ = 1 cos2∠ = 4 37 ；
(2)由 sin∠ = 4 37 ，得 sin∠ = sin( ∠ ) =
4 3
7 ，
由题意知∠ = 20° + 40° = 60°，
4 3
△ = = ∠
21×
在 中，由正弦定理得sin∠ sin∠ ，所以
7
sin∠ = 3 = 24 ，
2
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
可得 2 + 441 6 = 576，整理得 2 6 135 = 0，解得 = 15 或 = 9 (舍去)．
所以 = 15 ，即 、 之间的距离为 15 ．
18.解：(1) // ，证明如下：
依题意， // ， 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，
又平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 // ；
(2)证明：取 中点 ，连接 ， ，
在△ 中， // , = 12 ，
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在 1中， // , = 2 ，
则 // ， = ，
即四边形 为平行四边形，
因此 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(3)当 为 中点时，平面 //平面 ，证明如下：
取 的中点为 ，连接 ， ，
在△ 中， // ， 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，同理可证， //平面 ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
19.解：(1)由于 = 1 + 3 ，得 = 2( 12+
3
2 ) = 2(cos

3 +

3 )；
(2) + 1 = 1①由题意得 2，整理得 2
2 + 2 = 0，∴ = 1± 16 1 = 1± 154 4 ；
②设 = + ( , ∈ , ≠ 0, > 0)，
则 ( ) = 2 + 1 = ( + )2 + 1 2 2 1 2 ( + )2 = ( ) + 2 + ( 2 2)+2
2 2 2 2
= ( 2 2) + 2 + ( ) 2 2 2 ( ) 2 [( 2 2)+2 ] [( 2 2) 2 ] = ( ) + 2 + ( 2 2)2+4 2 2
2 2 2 2 2 2
= ( 2 2) + 2 + ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 2+ 2)2 = ( ) + ( 2+ 2)2 + 2 ( 2+ 2)2 = ( ) + ( 2+ 2)2 + [2
2
( 2+ 2)2 ] ．
∵ 2 存在实数 ，使得 ( ) ≥ 成立，∴ ( )为实数，则 2 ( 2+ 2)2 = 0，
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∵ ≠ 0， > 0，∴ 2 + 2 = 1，
当 2 + 2 = 1 时， ( ) = 2( 2 2) = 2(2 2 1) > 2( ≠ 0)，符合题意，
点 的轨迹为单位圆的一部分．
设 ( , ) ∈ (0, ) ∪ ( ， 2 2 , )，
所表示的复数为 1，
所表示的复数为 2，则 1 = 2 + ，
= 2 1 [cos( 3 ) + ( 3 )] = cos(

3 ) 1 + [sin(

3 ) + 3]，
∴ (cos( 3 ) + 1, sin(

3 ) + 3)，
则| | = [cos( 3 ) + 1]
2 + [sin( 3 ) + 3]
2
= cos2( 3 ) + 2 ( 3 ) + 1 + sin
2( 3 ) + 2 3sin(

3 ) + 3 = 5 + 4 (

6 )，

当 sin( 6 ) = 1，即 =
2
3时，| |取得最大值 3．
故线段 的最大值为 3．
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