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2024-2025 学年上海市长宁区延安中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中是奇函数的是( )
A. = B. = C. = + D. = +
2.为了得到函数 = 2 (3 + 4 )的图象，只需把函数 = 2 3 的图象上所有的点( )
A. 向左平移4个单位 B.向左平移12个单位 C.向右平移4个单位 D.向右平移12个单位
3.在△ 中，“ > ”是“△ 为锐角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型.关于三角函数周期性给出两个结论：
①函数 = 2 是周期函数；
②函数 = + cos( )是周期函数．
则下列判断正确的是( )
A.①②都正确 B.①②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
5.已知角的终边过点 ( 1,3)，则 的值为______．
6.3 弧度是第______象限角．
7.函数 = 2 的最小正周期 ．
8 3.已知 是第四象限角，且 = 5，则 = ______．
9 1 5 .已知 sin( 3 ) = 3，则 cos( 6 ) = ______．
10.函数 ( ) = 2 (2 + 3 )的单调增区间是______．
11 3 4 5.已知 ∈ ( , 2 ), ∈ (0, 2 )且 sin( ) = 5 , = 13，则 = ______．
12.在△ 中， ： ： = 5：7：8，则 + + = ______．
13.如图，货轮在海上以 40 / 的速度沿着南偏东 40°的方向航行，货轮在 处观测到
灯塔 在其南偏东 70°的方向上，航行半小时到达 点，此时灯塔 在其北偏东 65°的方
向上，则 点与灯塔 的距离为______ ．
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14.函数 ( ) = 2 + ， ∈ 的值域是______．
15.直线 = ( > 0)与函数 ( ) = 4 (2 + )图像的相邻的三个交点从左自右依次为 、 、 ，若| | =
2| |，则 = ______．
16 3 2 2.已知 、 满足sin cos = sin cos + 1，则 sin( ) = ______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 6 分)
求函数 = 2 3 + 2 2 的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有 的值．
18.(本小题 9 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 + = 2 ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 7， + = 13，求△ 的面积．
19.(本小题 9 分)
(1)证明三倍角公式 3 = 3 4 3 ；
(2) 同学试着将2 代入第(1)小题中的公式，得到：
sin[3( 2 )] = 3 (

2 ) 4
3( 2 ) = 3 4
3 ，又由诱导公式可知 sin[3( 2 )] =
sin( 3 3 ) = 3 ，所以 3 = 4 32 3 ．
若已知五倍角正弦公式 5 = 16 5 20 3 + 5 对任意 ∈ 恒成立，试推导用 表示 5
的五倍角余弦公式．
20.(本小题 10 分)
如图，某学校足球场长 90 米，宽 60 米，球门宽 6 米，球门 位于底线中央( 中点与底线中点重合).
是球场边线的中点， 是底线上一点，且 = 12 米，球员甲沿 方向带球突进．
(1)求 tan∠ 的值；
(2)若甲准备在线段 上某一点 处起脚射门，试问点 距离底线多远时， 对球门的张角(∠ )最大？(结
果精确到 0.1 米)
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21.(本小题 14 分)
对于函数 = ( )， ∈ ，如果存在一个非零常数 ∈ ，使得当 取其定义域 中的任意值时，有 + ∈ ，
且成立 ( + ) = ( ) + ( )，则称函数 = ( )是“类周期函数”，这个非零常数 叫做函数 = ( )的
一个“类周期”．
(1)证明函数 ( ) = + 是“类周期函数”；
(2)证明函数 ( ) = 不是“类周期函数”；
(3)已知函数 ( ) = ( + )(其中 > 0， > 0)是“类周期函数”，证明：“ ( ) = 0”是“ 是 =
( )的一个‘类周期’”的必要非充分条件．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.3 1010
6.二
7. 2
8. 45
9.13
10.[ 5 12 + , 12 + ]( ∈ )
11. 1665
12.10 37
13.10 2
14.[ 1 2, 54 ]
15.2
16. 1
17.解：由于 = 2 3 + 2 2 = 3 2 + 1 2 = 2 (2 6 ) + 1，
函数的最小正周期 = ，函数的最大值为 3，

当 2 6 = 2 + 2，即 = +

3， ∈ 时取得最大值．
18.(1)因为 + = 2 ，
由正弦定理可得 + = 2 ，
即 sin( + ) = 2 ，
在△ 中，sin( + ) = > 0，
所以 = 12，
因为 ∈ (0, )，
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所以 = 3；
(2) 1由(1)知， = 2，因为 = 7， + = 13，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
即 49 = 132 3 ，得 = 40，
所以△ 1 1 3的面积 = 2 = 2 × 40 × 2 = 10 3．
19.(1)证明： 3 = sin(2 + )
= 2 + 2
= 2 2 + (1 2 2 )
= 2 (1 sin2 ) + (1 2 2 )
= 2 2 3 + 2 3
= 3 4 3 ，得证；
(2)由题意，可得 sin[5( 2 )] = 16
5( 3 2 ) 20 ( 2 ) + 5 ( 2 )，
5
因为 sin[5( 2 )] = sin( 2 5 ) = 5 ，sin( 2 ) = ，
所以 5 = 16 5 20 3 + 5 ．
20.(1)由题意 = 12， = 6，
90 60 6
可得 = 2 = 45， = 2 = 27，
可得 = = 27 12 = 15， = + = 6 + 27 = 33，
可得 tan∠ = =
1
3，tan∠ =

=
11
15，
11 1
可得 tan∠ = tan(∠ ∠ ) = 15 3 9
1+11 1
= 28；
15×3
(2)设点 距离底线 米，过点 作 ⊥ ，垂足为 ， = ，
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则 = 3，
可得 = + = 12 + 3， = + = 18 + 3，
tan∠ = = 12+ 1 3，tan∠ =
18 1
= + 3，
所以 tan∠ = tan(∠ ∠ )
tan∠ tan∠
= 1+ tan∠ tan∠
6
= 10 + 2169 + 10
≤ 6 = 3
2 10 9 ×
216+10 5+4 15，
10 216
当 18 159 = 时，即 = 5 ≈ 13.9 时，等号成立，
此时 tan∠ 取得最大值，
= (0, 又因为函数 在 2 )上严格增，
所以对应的∠ 取得最大值，
所以当点 距离底线 13.9 米时， 对球门的张角(∠ )最大．
21.证明：(1)取 = 2 ，因为 ( ) = + ，所以 (2 ) = 2 ，
所以 ( + 2 ) = + 2 + sin( + 2 ) = + 2 + = ( ) + (2 )，
所以函数 ( ) = + 是“类周期函数”，2 是其一个“类周期”；
(2)假设函数 ( ) = 是“类周期函数”，
则存在非零常数 ，使得 cos( + ) = + 对任意 ∈ 都成立，
取 = 0，则可得 cos(0 + ) = 0 + ，所以 0 = 0，显然不成立，
所以函数 ( ) = 不是“类周期函数”；
(3)函数 = ( )， ∈ 是“类周期函数”，
则存在非零常数 ，使得 ( + ) = ( ) + ( )，对任意 ∈ 都成立．
取 = 0，则 (0 + ) = (0) + ( )，所以 (0) = 0，
对于函数 ( ) = ( + )，则有 = 0，所以 = ( ∈ )，
所以 ( ) =± ，
对于 ( ) = 2 ，取 = ，则 ( ) = (
2
) = 2 = 0，
2
所以 ( + ) = ( + ) = [ ( +
2
)] = ( + 2 ) = = ( ) + (
2
) = ( ) + ( )，
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所以函数 ( ) = 是“类周期函数”，
2 2
对于 ( ) = ，取 = ，则 ( ) = ( ) = [
2
] = 2 = 0，
( + ) = ( + 2 ) = [ ( + 2 所以 )] = ( + 2 ) = = ( ) + (
2
) = ( ) +
( )，
所以 ( ) = 也是“类周期函数”，

不妨设 ( ) = ，取 = ，所以 ( ) = = 0，
则 ( + ) = [ ( +

)] = ( + ) = ，
( ) + ( ) = + 0 = ，
( + ) = ( ) + (

)

不恒成立，则 不是 ( ) = 的“类周期”，
“ ( ) = 0”不是“ 是 = ( )的一个‘类周期’”的充分条件；
假设 是 = ( )的一个“类周期”，且 ( ) ≠ 0，设| ( )| = > 0，
则 [( + 1) ] = ( + ) = ( ) + ( )(其中 ∈ )，
所以对于任意正整数 ，都有 ( ) = ( )，
| ( )| = | ( )| = ，而 ( ) = 的值域为[ , ]，矛盾，
所以假设不成立，必有 ( ) = 0，
所以“ ( ) = 0”是“ 是 = ( )的一个‘类周期’”的必要条件，
即 ( ) = 0 是 是 = ( )的一个类周期的必要非充分条件．
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