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2024-2025 学年天津市滨海新区大港一中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1 .若复数 = 1 ( 是虚数单位)，则| | =( )
A. 12 B.
2
2 C. 1 D. 2
2.已知非零向量 、 ，且 = + 2 ， = 5 + 6 ， = 7 2 ，则一定共线的三点是( )
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
3.已知 ， 是互不重合的直线， ， 是互不重合的平面，下列命题正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 ⊥ ， ， // ，则 ⊥
C.若 // ， // ，则 // D.若 ∩ = ， ， ⊥ ，则 ⊥
4 13

.已知复数 = 5 + ( 为虚数单位)，则复数 + 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.满足条件 = 4, = 3 2, = 45°的三角形的个数是( )
A. 1 个 B. 2 个 C.无数个 D.不存在
6.若水平放置的四边形 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ ⊥
′ ′， ′ ′ = 1， ′ ′ = 2，则原四边形 的面积为( )
A. 12
B. 6
C. 3 2
D. 3 22
7.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为 4.5 的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，
则杯子的高 =( )
A. 9
B. 6
C. 3
D. 4.5
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8.已知非零向量 ， 满足| | = 3| |, 与 1夹角的余弦值为3，若( +
) ⊥ ，则实数 =( )
A. 1 B. 94 C. 4 D.
9
4
9.在△ 中，“ > ”是“ < ”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
10.如图所示，在平行六面体 1 1 1 1中， = ， = ， 1 = ， 是 1 1的中点，点 是 1
上的点，且 ： 1 = 1：4.用 , , 表示向量 的结果是( )
A. 12 +
+
B. 15 +
1
5
+ 45
C. 1 3 5 10
15
D. 45 +
3
10
45
11.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若 ⊥平面 ， ⊥平面 ， =
60 ， = 70 3 ，tan∠ = 3 cos∠ = 144， 15，∠ = 150°，则塔尖 之间的距离为( )
A. 75 10 B. 75 3 C. 75 7 D. 75

12 .已知非零向量 、 满足 +
1
= 0，且 = 2，则 的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形
13.如图，在平面四边形 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°，
= = 1.若点 为边 上的动点，则 的最小值为( )
A. 2116 B.
3
2 C.
25
16 D. 3
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14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 4， 1的中点为 ，过 1， ， 的平面把正方体分成两部分，
则较小部分的体积为( )
A. 523
B. 18
C. 563
D. 583
二、填空题：本题共 6 小题，共 30 分。
15.已知(2 1) + = + (3 ) ，其中 ， ∈ ，则 + =______．
16.在四面体 中， = = 4， ， 分别是 ， 的中点，若 = 2 3，则异面直线 与 的夹
角为______．
17.已知向量 = (2,1), = ( 3,1)，①( + ) ⊥ ；②| + 2 | = 6；③向量 在向量 上的投影向量是(
6 , 2 ) ( 2 5 , 55 5 ；④ 5 5 )是向量 的单位向量，则以上命题正确的有______个.
18.已知在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 3， = 2，△ 的面积等于 2 3，则△
外接圆的面积为______．
19.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，
且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 2 的正方形，高为 4，且
两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有 个面，其体积为 ．
20.在棱长为 2的正四面体 中，点 满足 = + ( + 1) ，点 满足 = +
(1 ) ，当 、 最短时， =______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 12 分)
已知 为虚数单位， ∈ ，复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 4 + 3) ．
(Ⅰ)若 是实数，求 的值；
(Ⅱ)若 是纯虚数，求 的值；
(Ⅲ)若复数 与 1 2 在复平面上对应的向量分别为 , ，且 与 的夹角为钝角，求 的取值范围．
22.(本小题 12 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧棱 1 ⊥底面 ， ⊥ ， 为 的中点， 1 = = = 2．
(Ⅰ)求证： 1//平面 1 ；
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(Ⅱ)求证： ⊥平面 1 1 ；
(Ⅲ)求直线 1与平面 1 1 所成角的大小．
23.(本小题 12 分)
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知 3( )2 = 3 2 2 ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)若 5 = 3 ，求( ) 的值，( )cos(2 + )．
24.(本小题 14 分)
已知在四棱锥 中，侧面 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = = = 2 = 2 = 2，
， 分别是 ， 的中点，
(Ⅰ)证明： //平面 ；
(Ⅱ)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(Ⅲ)求 的中点 到平面 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.72
16.60°
17.2
18.4
19.20；32 16 23
20. 23
21.(Ⅰ)复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 4 + 3) ，
若 是实数，则 2 4 + 3 = 0，解得 = 1 或 = 3；
2
(Ⅱ)若 是纯虚数，则 8 + 15 = 0，解得 = 5；
2 4 + 3 ≠ 0
(Ⅲ)复数 与 1 2 在复平面上对应的向量分别为 , ，
则 = ( 2 8 + 15, 2 4 + 3)， = (1, 2)，
∵ 与 的夹角为钝角，
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2∴ 8 + 15 2
2 + 8 6 < 0 < 3 > 3 ≠ 11 2( 2 8 + 15) 2 + 4 3 ≠ 0，解得 或 且 3．
∴ 的取值范围为( ∞, 3) ∪ (3, 11 ) ∪ ( 113 3 , + ∞).
22.(Ⅰ)证明：连接 1 ，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，
由题意可得 为 1的中点，而 为 的中点，
所以 // 1，
而 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
(Ⅱ)证明：因为侧棱 1 ⊥底面 ，
可得平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = 1 ，
又因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
平面 ，
所以 ⊥平面 1 1 ；
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)可得∠ 1 为直线 1与平面 1 1 所成角，
可得 sin∠

1 = ，1
因为 ⊥ ， 1 = = = 2，
所以 = 22 × = 2， 1 =
2 + 21 = 4+ 4 = 2 2，
2 1
所以 sin∠ 1 = = = ，1 2 2 2
又因为∠ 1 ∈ [0,

2 ]，
可得∠ 1 =

6．
2 2 2
23.( )在△ 中，由 3( )2 = 3 2 2 + 2，整理得 2 = 3，
2
又由余弦定理，可得 = 3；
( ) 5由 ∈ (0, )及(1)可得 = 3 ，
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又由正弦定理 = 及 5 = 3 ，可得 =
3 5 5
= 5 × 3 = 5 ，
= 5故 5 ，
( )因为 < ，
所以 为锐角，
= 2 5 2 = 2 2 1 = 2 × 4 1 = 3 2 = 2 = 2 × 2 5 5 4所以 5 ， 5 5， 5 × 5 = 5，
则 cos(2 + ) = 2 2
= 3 2 5 4 6 4 55 × 3 3 × 5 = 15 ．
24.(Ⅰ)证明：连接 交 于 ，
因为 // ， = 2 ， 为 的中点，所以 为 的中点，
而 为 的中点，所以 // ，
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(Ⅱ)解：因为侧面 ⊥平面 ， = ， 为 的中点，可得 ⊥ ，侧面 ∩平面 = ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
= = = 2 = 2 = 2，可得 (0,0,0)， (1,0,0)， (0,0, 3)， (0,1,0)， ( 1,1,0)，
1 1 3
所以 ( 2 , 2 , 2 )，
可得 = ( 1 , 1 , 32 2 2 )，
= (0,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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则 = 0
1 1 3
，即 2
+ 2 + 2 = 0，
= 0 = 0
令 = 1，可得 = ( 3, 0,1)，平面 的法向量为 = (0,0,1)，
可得 = 1，| | = 3 + 1 = 2，| | = 1，
所以 cos < ， >= 1 1| | | | = 2×1 = 2，设平面 与平面 的夹角为 ，
则 = |cos < ， > | = 12，
1
即平面 与平面 的夹角的余弦值为2；
(Ⅲ) 1 1 1 1解：因为 为 的中点，可得 ( 2 , 2 , 0)，则 = ( 2 , 2 , 0)，
由(Ⅰ)可得平面 的法向量 = ( 3, 0,1)，
3
可得点 到平面 的距离为| 2 3| | | = 2 = 4 ．
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