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2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题五 平面直角坐标系
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 由点的坐标位置确定字母的取值范围
【例1】．在平面直角坐标系中有一点．
(1)若点P在x轴上，则x的值为 ；
(2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标．
方法指导
由点的位置特点确定坐标的取值范围或坐标的值，转化为方程，解方程即可。
变式训练1
1．已知点，根据下列条件回答问题：
(1)点，且平行于轴，求点A坐标和线段的长；
(2)点A在第三象限，且到轴，轴距离相等，求点A坐标；
(3)点A到轴距离为3，求A点坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且直线轴，求线段的长．
3．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第四象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标．
4．已知点是平面直角坐标系内一点．
(1)若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标．
(2)经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标．
5．已如点，根据下列条件分别求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大；
(3)点在象限的角平分线上．
重难点2 用坐标表示地理位置
【例2】．小霞和朋友到某公园玩，领到了一张利用平面直角坐标系画出如图所示的公园的景区图，已知音乐台的坐标为，月季园的坐标为．
(1)请在图中建立直角坐标系；
(2)请直接写出游乐场、望春亭的坐标；
(3)该公园计划再修建一个新的景点，已知景点的坐标为，请在图中标出景点的位置．
方法指导
坐标表示地理位置时，首先选取适当的点为原点，确定单位长度，再标出点的坐标与名称。
变式训练2
1．年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的周年，长征是中国革命事业的伟大转折点、如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示过草地的点的坐标为
(1)在图中画出正确的平面直角坐标系；
(2)表示会宁会师的点的坐标为 ，湘江战役的点的坐标为 ，吴起镇会师的点的坐标为 ．
2．如图，货船与港口相距30海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，30海里）来描述，请你用有序数对描述港口相对货船的位置．
3．如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示．
(1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______；
(2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______；
(3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______．
4．如图所示的是小明家周边的简单地图，已知 ，，点C为的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园、小吃街相对于小明家的位置．
5．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答．
(1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（ ）方向行驶（ ）米到图书馆，最后向（ ）方向行驶（ ）米到学校．
(2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？
重难点3 平图形的平移与坐标变换
【例3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出将向上平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ；
(2)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ．
(3)归结第（1）、（2）小题，请问将平移到有几种平移变换的方法，并分别用自己的语言表述出来．
方法指导
在平面直角坐标系中，点p（x,y）向右（或左）平移a个单位长度后的坐标为p（x+a,y）或P（x-a,y）,点p（x,y）向上或（下）平移b个单位长度后的坐标为p（x，y+b）或p（x，y-b）
变式训练3
1．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，．
(1)把三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形（点，，的对应点分别为点，，），请你画出三角形；
(2)请直接写出点，的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．

(1)请画出平移后的，并写出点的坐标；
(2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为．
3．某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，为引导游客观光，在正方形网格中建立平面直角坐标系后，点A，B的位置可以用和来表示．
(1)按要求在正方形网格中画出坐标系的轴，轴和原点的位置，并直接写出点的坐标；
(2)已知点D，E的坐标分别为；
①在坐标系中画出点D，E的位置；
②直线与的位置关系为______，线段可以看作线段向右平移______个单位长度得到的．
4．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为．
【实践操作】
（1）若点，，则轴，的长度为______；
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，，，
①如图1，的面积为______；
②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标．
5．在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
(1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______；
(2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，
①求t的值．
②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标．
重难点4 思想方法
转化思想
【例4-1】．在平面直角坐标系中，将一个直角的顶点放在点处，直角的两边分别交两坐标轴正半轴于A、B两点，
(1)求证：；
(2)求四边形的面积；
方法指导
不规则图形面积转化为规则图形面积计算，已知图形面积时，根据面积公式转化为方程问题求坐标。
变式训练4-1
1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．

(1)直接写出点D的坐标：______；
(2)求的面积；
(3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值．
2．如图，已知图中点和点的坐标分别为和．
(1)请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；
(2)写出点的坐标为________；
(3)连接、和得，在轴的负半轴有点满足，则点的坐标为________，________个平方单位；
3．如图，在平面直角坐标系中，已知与两点，若点C在x轴上，且．
(1)直接写出点C的坐标为 ；
(2)在图中画出，并求其面积．
从特殊到一般思想
【例4-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
方法指导
规律探究往往是从个例、特殊情况入手，发现其中规律，从而推广到一般情况，用适当的式子表示出来即可。
变式训练4-2
1．如图，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点A3向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，…，按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点的坐标为，在轴的正半轴，且，过作，垂足为，交轴于点，过作，垂足为，交轴于点，过作，垂足为，交轴于点，按如此规律进行下去，则点的纵坐标为（ ）
A．0 B． C． D．
分类讨论思想
【例4-3】．已知点是平面直角坐标系内一点．
(1)若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标．
(2)经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标．
方法指导
点的位置不确定，所以在分类讨论时，要根据点所在位置的不同进行分类讨论。
变式训练4-3
1．已知点，试分别根据下列条件，求出的值．
(1)点在轴上；
(2)经过点，的直线与轴平行；
(3)点到轴的距离等于2．
2．已如点，根据下列条件分别求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大；
(3)点在象限的角平分线上．
3．已知点，，．
(1)A，B两点之间的距离为______．
(2)点P在x轴上，当三角形的面积为10时，求点P的坐标．
(3)若点Q在y轴上运动，三角形的面积会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出它的面积．
2024-2025学年人教版七年级下期末专题复习
专题五 平面直角坐标系（解析版）
01 知识结构
02 重难点突破
重难点1 由点的坐标位置确定字母的取值范围
【例1】．在平面直角坐标系中有一点．
(1)若点P在x轴上，则x的值为 ；
(2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标．
【答案】(1)0
(2)点P的坐标为（3，6）
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点，在x轴上的点的坐标特点，熟练掌握是解答本题的关键．
（1）在x轴上的点纵坐标为，据此列出方程求解即可；
（2）第一象限内的点横纵坐标都为正，点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求出点到两坐标轴的距离，再根据点到两坐标轴的距离之和为9建立方程求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：点在x轴上，
，
；
（2）解：在第一象限，
点到轴的距离为，到轴的距离为，
点到两坐标轴的距离之和为9，
，
，
，
点的坐标为．
方法指导
由点的位置特点确定坐标的取值范围或坐标的值，转化为方程，解方程即可。
变式训练1
1．已知点，根据下列条件回答问题：
(1)点，且平行于轴，求点A坐标和线段的长；
(2)点A在第三象限，且到轴，轴距离相等，求点A坐标；
(3)点A到轴距离为3，求A点坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练利用题意列方程是解题的关键．
（1）根据平行于轴，可得纵坐标相同，即可解答；
（2）根据点A在第三象限，且到轴，轴距离相等，列方程即可解答；
（3）根据点A到轴距离为3，列方程即可解答．
【详解】（1）解：∵A， B且平行于轴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（2）解：∵点A在第三象限，且到轴，轴距离相等
∴，
∴，
∴，
（3）解：∵点A到y轴距离为3
∴，
∴，
∴或．
2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．
(1)若点在轴上，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且直线轴，求线段的长．
【答案】(1)
(2)19
【分析】本题考查了坐标点的特征，熟练掌握坐标轴上的点和与坐标轴平行的直线上的点的特征是关键．
（1）根据轴上的点横坐标为0，列出方程解出的值，即可得出答案；
（2）根据与轴平行的直线上的点横坐标相同，列出方程解出的值，即可求出线段的长．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
解得：，
则，
点的坐标为．
（2）解：直线轴，，，
，
解得：，
则，
点的坐标为，
线段的长为．
3．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第四象限，且点到轴、轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，熟练掌握该知识点是解题的关键．
根据点位于第四象限，且点到轴、轴的距离相等，得，然后求出的值，再代入求解即可．
【详解】解：因为点位于第四象限，且点到轴、轴的距离相等，
所以，
解得，
所以．
4．已知点是平面直角坐标系内一点．
(1)若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标．
(2)经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标．
【答案】(1)点A的坐标或
(2)
【分析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由点A到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可．
（2）由过点，的直线，与x轴平行，可得，再解方程，进而可得点A的坐标；
【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
当时，解得，
∴，
当时，解得，
∴，
∴点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标或．
（2）解：∵过点，的直线，与x轴平行，
∴，解得，
∴，
∴点A的坐标为；
5．已如点，根据下列条件分别求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大；
(3)点在象限的角平分线上．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查点的坐标，实数的混合运算，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键：
（1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】（1）解：点在轴上，
点的纵坐标为0，即，解得，
，
点的坐标为；
（2）解：∵点的纵坐标比横坐标大，
，解得，
，，
点的坐标为．
（3）解：当点在第一、三象限的角平分线上，
点的横坐标与纵坐标相同，
，解得，
，，
点的坐标为．
当点在第二、四象限的角平分线上，
点的横坐标与纵坐标互为相反数，
，解得
，，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
重难点2 用坐标表示地理位置
【例2】．小霞和朋友到某公园玩，领到了一张利用平面直角坐标系画出如图所示的公园的景区图，已知音乐台的坐标为，月季园的坐标为．
(1)请在图中建立直角坐标系；
(2)请直接写出游乐场、望春亭的坐标；
(3)该公园计划再修建一个新的景点，已知景点的坐标为，请在图中标出景点的位置．
【答案】(1)图见解析
(2)游乐场，望春亭
(3)图见解析
【分析】本题考查用坐标表示实际位置，正确的建立直角坐标系，是解题的关键：
（1）根据已知点的位置，确定原点的位置，建立直角坐标系即可；
（2）根据点的位置，写出点的坐标即可；
（3）根据点的坐标，在坐标系中描点即可．
【详解】（1）解：由题意，建立直角坐标系如图所示；
（2）由图可知：游乐场，望春亭；
（3）如图，点即为所求；
方法指导
坐标表示地理位置时，首先选取适当的点为原点，确定单位长度，再标出点的坐标与名称。
变式训练2
1．年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的周年，长征是中国革命事业的伟大转折点、如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示过草地的点的坐标为
(1)在图中画出正确的平面直角坐标系；
(2)表示会宁会师的点的坐标为 ，湘江战役的点的坐标为 ，吴起镇会师的点的坐标为 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)，，
【分析】（）根据题意画出平面直角坐标系即可；
（）根据所画的平面直角坐标系写出坐标即可；
本题考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
（2）解：由（）图可得，会宁会师的点的坐标为，湘江战役的点的坐标为，吴起镇会师的点的坐标为，
故答案为：，，．
2．如图，货船与港口相距30海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，30海里）来描述，请你用有序数对描述港口相对货船的位置．
【答案】北偏东，30海里
【分析】本题考查坐标确定位置，以点为中心点，来描述点的方向及距离即可，掌握用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解题的关键，根据定义求解即可．
【详解】解：由题意知港口相对货船的位置用有序数对描述为（北偏东海里）．
3．如图为某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，敌方战舰A，B，C分别用三点A，B，C表示，小岛用H表示．
(1)对于我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是______，______．要确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？______；
(2)距离我方潜艇20海里的敌方战舰有______；
(3)要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：______和______．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在______方向，距离为______；敌方战舰B在______方向，距离为______；敌方战舰C在______方向，距离为______．
【答案】(1)敌方战舰，小岛，的距离
(2)敌方战舰
(3)方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里
【分析】（1）根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度解答即可；
（2）根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A；
（3）要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里．
本题考查了位置的确定，方向角和距离是确定位置的一种重要方式，熟练掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，我方潜艇O来说：北偏东方向上的目标是敌方战舰，小岛．要确定敌方战舰B的位置，还需要知道两舰之间的距离的长度，
故答案为：敌方战舰，小岛，的距离．
（2）解：根据比例尺，测量计算，得到距离我方潜艇20海里的敌方战舰有正东方向20海里的敌方战舰C和正南20海里的敌方战舰A，
故答案为：敌方战舰．
（3）解：要确定每艘敌方战舰的位置，各需要2个数据：方向角和距离．
对于我方潜艇O来说：敌方战舰A在正南方向，距离为20海里；敌方战舰B在北偏东方向，距离为30海里；敌方战舰C在正东方向，距离为20海里．
故答案为：方向角，距离，正南，20海里，北偏东，30海里，正东，20海里．
4．如图所示的是小明家周边的简单地图，已知 ，，点C为的中点，请用方向与距离描述商场、学校、停车场、公园、小吃街相对于小明家的位置．
【答案】商场在小明家西偏北，处；学校在小明家东偏北，处；公园在小明家东偏南，处；停车场在小明家东偏南 ，处；小吃街在小明家南偏西，处
【分析】本题主要考查了运用方位角确定位置，掌握方位角确定位置包括方位角和距离两部分成为解题的关键．
直接运用方位角各场所的位置即可．
【详解】解：商场在小明家西偏北，处；
学校在小明家东偏北，处；
公园在小明家东偏南，处；
停车场在小明家东偏南 ，处；
小吃街在小明家南偏西，处．
5．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答．
(1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（ ）方向行驶（ ）米到图书馆，最后向（ ）方向行驶（ ）米到学校．
(2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？
【答案】(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、
(2)豆豆不会迟到
【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键．
（1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解；
（2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解．
【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶
米到学校
故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、．
（2）解：根据题意得
（分钟）
豆豆的路程：
．
答：豆豆不会迟到.
重难点3 平图形的平移与坐标变换
【例3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出将向上平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ；
(2)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ．
(3)归结第（1）、（2）小题，请问将平移到有几种平移变换的方法，并分别用自己的语言表述出来．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，正确根据平移方式找到对应点位置是解题的关键．
（1）先根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据点的位置求出对应点坐标即可
（2）先根据平移方式确定对应点的位置，然后顺次连接，再根据点的位置求出对应点坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴．
（2）解：即为所求；
∴．
（3）解：将先向上平移4个单位长度后，再向左平移4个单位长度或将先向左平移4个单位长度后，再向上平移4个单位长度即可得到．
方法指导
在平面直角坐标系中，点p（x,y）向右（或左）平移a个单位长度后的坐标为p（x+a,y）或P（x-a,y）,点p（x,y）向上或（下）平移b个单位长度后的坐标为p（x，y+b）或p（x，y-b）
变式训练3
1．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，．
(1)把三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形（点，，的对应点分别为点，，），请你画出三角形；
(2)请直接写出点，的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)，
【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移到性质，是解题的关键：
（1）根据平移规则确定点，，的位置，画出三角形即可；
（2）根据点的位置写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）由图可知：，．
2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．

(1)请画出平移后的，并写出点的坐标；
(2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可；
（2）根据（1）中的平移方向，即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴点的坐标是，点的坐标是，
∴平移后的如图所示：
（2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵点的对应点的坐标为，
∴点的坐标为．
3．某旅游村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地5个景点分别用点A，B，C，D，E来表示，为引导游客观光，在正方形网格中建立平面直角坐标系后，点A，B的位置可以用和来表示．
(1)按要求在正方形网格中画出坐标系的轴，轴和原点的位置，并直接写出点的坐标；
(2)已知点D，E的坐标分别为；
①在坐标系中画出点D，E的位置；
②直线与的位置关系为______，线段可以看作线段向右平移______个单位长度得到的．
【答案】(1)见详解；
(2)①见详解；②，2
【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际问题中的应用，正确的建立坐标系是解题关键．
（1）根据平面直角坐标系即可求解；根据，即可求解；
（2）①在直角坐标系中画出点D，E，②连接，即可判断；
【详解】（1）解：坐标系的轴，轴和原点的位置如图所示：
由图可知：景观C的坐标为
（2）解：D，E的位置如下图：
由图可知：直线与的位置关系为：．
线段可以看作线段向右平移2个单位长度得到的．
4．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为．
【实践操作】
（1）若点，，则轴，的长度为______；
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，，，
①如图1，的面积为______；
②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标．
【答案】（1）3
（2）①10；②
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平移的性质，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加”是解题关键．
（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可；
（2）①先计算，，再利用面积公式计算即可；
②设，由等积法，得到，再结合图形，利用得到点的坐标．
【详解】解：（1）∵点，，
∴轴，
∴，
故答案为：3．
（2）①，，，
，，
，
②连接，，
设，
∵点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
．
5．在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合．
(1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______；
(2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时，
①求t的值．
②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标，
（2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可；
②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可.
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，，
∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，，
∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位，
将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：，
（2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，，
，
三角形的面积三角形的面积，
,
,
三角形的面积，
，
，
即；
②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，
∴，
设,而，，
∴，，
∴点，
∴点；
当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，即；
综上所述，或．
【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键.
重难点4 思想方法
转化思想
【例4-1】．在平面直角坐标系中，将一个直角的顶点放在点处，直角的两边分别交两坐标轴正半轴于A、B两点，
(1)求证：；
(2)求四边形的面积；
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，坐标与图形，添加恰当辅助线构成全等三角形是解题的关键．
（1）过点作，于点，，则，根据同角的余角相等得，进而证明，即可证明结论成立；
（2）由（1）得， ，进而得，进而得；
【详解】（1）证明：过点作，于点，，则，
由题意得，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
由（）得，，
∴，
∴
．
方法指导
不规则图形面积转化为规则图形面积计算，已知图形面积时，根据面积公式转化为方程问题求坐标。
变式训练4-1
1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．

(1)直接写出点D的坐标：______；
(2)求的面积；
(3)已知点，若的面积与的面积相等，求m的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质等知识．
（1）根据平移的性质求解即可．
（2）过点D作轴与点F，根据计算即可．
（3）先求出，即可得出，解绝对值方程即可求解即可．
【详解】（1）解：∵将向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
，，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点D作轴与点F，如下图：
则，

∵，，，
∴，，，，
∴
=
；
（3）解：∵
又∵，
∴ ，
解得
2．如图，已知图中点和点的坐标分别为和．
(1)请在图中画出坐标轴建立适当的直角坐标系；
(2)写出点的坐标为________；
(3)连接、和得，在轴的负半轴有点满足，则点的坐标为________，________个平方单位；
【答案】(1)见解析
(2)
(3)；
【分析】本题考查了直角坐标系、三角形的面积计算，能找到直角坐标系的原点、横纵坐标的正方向并画出直角坐标系是解答本题的关键．
（1）根据图中点和点的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向即可得到答案；
（2）根据直角坐标的特点，即可写出的坐标；
（3）根据点在直角坐标系中的位置，先算出的面积，再根据三角形的面积公式即可算出答案．
【详解】（1）解：根据图中点和点的坐标确定原点的位置和横纵坐标的正方向，得到直角坐标系如下图：
（2）解：根据直角坐标系的特点，得到点的坐标为：，
故答案为：；
（3）解：画图如下：
根据点在直角坐标系中的位置，得到：，
假设点的坐标为，
，
又，
，
，
或，
在轴的负半轴，
，
故的坐标为，个平方单位，
故答案为：；．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知与两点，若点C在x轴上，且．
(1)直接写出点C的坐标为 ；
(2)在图中画出，并求其面积．
【答案】(1)或；
(2)见解析，6．
【分析】本题主要考查了平面直角系中坐标与图形，两点之间的距离公式等知识．
（1）根据两点之间的距离公式求解即可．
（2）根据（1）中点C的坐标分别画出并求面积即可．
【详解】（1）解：∵，点C在x轴上，
∴，
解得：或，
故点C的坐标为：或；
（2）解：如下图所示：
则
从特殊到一般思想
【例4-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．根据所给的点的坐标，发现的横纵坐标的排列规律，即可解决问题．
【详解】解：由题知，点，，，，，，
，
当时，，
根据点的安排规律知．
故选：D．
方法指导
规律探究往往是从个例、特殊情况入手，发现其中规律，从而推广到一般情况，用适当的式子表示出来即可。
变式训练4-2
1．如图，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；将点A3向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的变化，根据题意得出点的横坐标的变化规律是解题的关键．
根据题意得出的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，按这个规律平移得到点，则的横坐标为，即可得到答案
【详解】解：根据题意得的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
按这个规律平移得到点，则的横坐标为，
按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为，
故选：B ．
2．如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，…，按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移方式先求得的坐标，找到规律求得的横坐标，进而求得的横坐标．
【详解】点的横坐标为，
点的横坐为标，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
…
按这个规律平移得到点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了点的平移，坐标规律，找到规律是解题的关键．
3．如图，点的坐标为，在轴的正半轴，且，过作，垂足为，交轴于点，过作，垂足为，交轴于点，过作，垂足为，交轴于点，按如此规律进行下去，则点的纵坐标为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知利用角的直角三角形中边角关系，可依次求出，，，，，，，，再由，可知点在轴的负半轴上，即可求解．
【详解】解：的坐标为，，
∴，
在中，，即，
∴ ，
，
过作，
，
，，
过作，
，
，，
过作，
，
，，
，
点在轴的负半轴上，
点的纵坐标为；
故选B．
【点睛】本题考查探索点的规律；利用角的特殊直角三角形的边角关系，分别求出各点坐标找到规律是解题的关键．
分类讨论思想
【例4-3】．已知点是平面直角坐标系内一点．
(1)若点A到两坐标轴的距离相等，求出点A的坐标．
(2)经过点，点的直线与x轴平行，求出点A的坐标．
【答案】(1)点A的坐标或
(2)
【分析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由点A到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可．
（2）由过点，的直线，与x轴平行，可得，再解方程，进而可得点A的坐标；
【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
当时，解得，
∴，
当时，解得，
∴，
∴点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标或．
（2）解：∵过点，的直线，与x轴平行，
∴，解得，
∴，
∴点A的坐标为；
方法指导
点的位置不确定，所以在分类讨论时，要根据点所在位置的不同进行分类讨论。
变式训练4-3
1．已知点，试分别根据下列条件，求出的值．
(1)点在轴上；
(2)经过点，的直线与轴平行；
(3)点到轴的距离等于2．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查点坐标与平面直角坐标系，点坐标特点，解一元一次方程等．
（1）令，再计算一元一次方程即可；
（2）与轴平行点坐标特点为值相等；
（3）横坐标绝对值等于2，解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：依题意有：，
解得；
（2）解：依题意有：，
解得：；
（3）解：依题意有：，
则或，
解得：或．
2．已如点，根据下列条件分别求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的纵坐标比横坐标大；
(3)点在象限的角平分线上．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查点的坐标，实数的混合运算，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键：
（1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】（1）解：点在轴上，
点的纵坐标为0，即，解得，
，
点的坐标为；
（2）解：∵点的纵坐标比横坐标大，
，解得，
，，
点的坐标为．
（3）解：当点在第一、三象限的角平分线上，
点的横坐标与纵坐标相同，
，解得，
，，
点的坐标为．
当点在第二、四象限的角平分线上，
点的横坐标与纵坐标互为相反数，
，解得
，，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
3．已知点，，．
(1)A，B两点之间的距离为______．
(2)点P在x轴上，当三角形的面积为10时，求点P的坐标．
(3)若点Q在y轴上运动，三角形的面积会发生变化吗？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出它的面积．
【答案】(1)4；
(2)或；
(3)不发生变化，面积为6
【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标与线段长度的关系是解题的关键；
（1）由点，，可得A，B两点之间的距离；
（2）如图，设，由面积可得，再解方程即可；
（3）由的横坐标为，可得的面积为．
【详解】（1）解：如图，
∵点，，
∴A，B两点之间的距离为；
（2）解：如图，设，
当三角形的面积为10时，
∴，
解得：或，
∴或．
（3）解：如图，
∵的横坐标为，
∴的面积为，
∴点Q在y轴上运动，三角形的面积不会发生变化，为定值．
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