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全册综合质量检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|－2A．(1,3] B．[1,3]
C．(－2,1] D．(－2,1)
【解析】　因为B＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}， RB＝{x|x<1}，又A＝{x|－22．函数f(x)＝x＋的大致图象是( 　 )
【解析】　f(x)＝x＋＝结合图形可知C适合题意．故选C.
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，则“角α与角β的终边关于x轴对称”是“cos α＝cos β”的( 　 )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　由角α与角β的终边关于x轴对称可得α＝－β＋2kπ，k∈Z，故cos α＝cos β，充分性成立，当cos α＝cos β时，α＝－β＋2kπ，k∈Z或α＝β＋2kπ，k∈Z，故必要性不成立，故选A.
4．若2x＝5，lg 2≈0.301 0，则x的值约为( 　 )
A．2.301 B．2.322
C．2.507 D．2.699
【解析】　由指对数互化公式得x＝log25＝＝≈≈2.322.故选B.
5．用二分法求函数f(x)＝3x－2－1的零点时，初始区间可选为( 　 )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
【解析】　f(－1)＝－<0，f(0)＝>0，f(1)＝>0，f(2)＝>0，f(3)＝>0，则f(－1)·f(0)<0，即初始区间可选[－1,0]．故选A.
6．若a＝log23，b＝log3e，c＝ln 3，则( 　 )
A．a>c>b B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
【解析】　a＝log23>log22＝1，b＝log3eln e＝1，c＝ln 3＝<＝log23，所以a>c>b.故选A.
7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移θ(θ>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　由图象可知函数f(x)的最小正周期为T＝－＝π，∴ω＝＝2，又f＝1，故sin＝1，由于0<φ<，故φ＝，所以f(x)＝sin，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移θ(θ>0)个单位长度后，得到y＝sin的图象，因为该图象关于原点对称，即y＝sin为奇函数，故－4θ＋＝kπ，k∈Z，则θ＝－，k∈Z，而θ>0，则θ的最小值为，故选C.
8．已知函数f(x)＝，若f(x)的最小值为f(2)，则实数a的取值范围为( 　 )
A．[2,5] B．[2，＋∞)
C．[2,5) D．(－∞，5]
【解析】　由x>2，则f(x)＝x＋－6a≥2－6a＝12－6a，当且仅当x＝6时等号成立，此时f(x)的最小值为f(6)＝12－6a；由y＝x2－2ax－2在(－∞，a)上递减，在(a，＋∞)上递增，又f(x)的最小值为f(2)，故a≥2且f(2)≤f(6) 2－4a≤12－6a a≤5，综上，2≤a≤5.故选A.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列三角式中，值为1的是( 　 )
A．4sin 15°cos 15° B．2
C. D．
【解析】　4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝2×＝1，故A正确；2＝2cos ＝2×＝1，故B正确；＝tan 45°＝1，故C正确；＝＝≠1，故D错误．故选ABC.
10．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则( 　 )
A.<α<π B．sin αcos α＝－
C．cos α－sin α＝ D．cos α－sin α＝－
【解析】　sin α＋cos α＝两边平方得，sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，B正确；因为α∈(0，π)，所以sin α>0，故cos α<0，所以<α<π，A正确；(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1＋＝，因为sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，故cos α－sin α＝－，C错误，D正确．故选ABD.
11．已知A，B是函数f(x)＝tan的图象与直线y＝3的两个交点，则下列结论正确的是( 　 )
A．|AB|min＝
B．f(x)的定义域为
C．f(x)在区间单调递增
D．f(x)的图象的对称中心为点，k∈Z
【解析】　因为A，B是函数f(x)＝tan的图象与直线y＝3的交点，所以|AB|的最小值为函数f(x)的最小正周期，T＝，所以|AB|min＝，故A正确；令3x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B错误；因为x∈，所以3x＋∈，因为函数y＝tan x在上不单调，所以函数f(x)在上不单调，故C错误；令3x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，所以f(x)的对称中心为点，k∈Z，故D正确．故选AD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知幂函数y＝(m2＋3m－3)xm＋1的图象不经过原点，则实数m＝ －4　.
【解析】　根据幂函数的定义可得m2＋3m－3＝1，解得m＝－4或m＝1，当m＝－4时，y＝x－3不经过原点，符合题意；当m＝1时，y＝x2过原点，不符合题意，故m＝－4.
13．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α(α>0)是 1或4(4或1)　.
【解析】　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α(α>0)，由题意得解得或所以扇形的圆心角的弧度数α(α>0)是1或4.
14．已知函数f(x)＝则f(a)＝2，则a＝ 2或　.
【解析】　因为f(a)＝2，当a≥1时，3－log2a＝2，解得a＝2，当a<1时，4a＝2，解得a＝.综合得a＝2或a＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知sin α＝，且α是第二象限角．
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
【解析】　(1)∵sin α＝，且α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
(2)＝
＝＝
＝＋.
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并解不等式f(x2－2x)＋f(3－2x2)<0.
【解析】　(1)设x<0，则－x>0，当x>0时，f(x)＝x2＋2x，
因为f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝x2－2x，即f(x)＝－x2＋2x，
又f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1单调递增，
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)在R上是单调增函数，
不等式f(x2－2x)＋f(3－2x2)<0可化为f(x2－2x)<－f(3－2x2)＝f(2x2－3)，
所以x2－2x<2x2－3，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.
所以不等式的解集为{x|x<－3或x>1}．
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)＋m.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求函数f(x)在上的最小值．
条件①：f(x)的最大值为1；
条件②：f(x)的一个对称中心为；
条件③：f(x)的一条对称轴为x＝.
【解析】　(1)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋m
＝sin 2x＋cos 2x＋m＋1
＝2sin＋m＋1，
故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)选①，f(x)max＝2＋m＋1＝m＋3＝1，解得m＝－2，
则f(x)＝2sin－1，
当0≤x≤时，≤2x＋≤，
故当2x＋＝时，函数f(x)取得最小值，
即f(x)min＝2sin －1＝－2；
选②，因为函数f(x)的一个对称中心为，
则f＝2sin π＋m＋1＝m＋1＝0，
解得m＝－1，
所以f(x)＝2sin，
当0≤x≤时，≤2x＋≤，
故当2x＋＝时，函数f(x)取得最小值，
即f(x)min＝2sin ＝－1；
选③，因为函数f(x)＝2sin＋m＋1的一条对称轴为直线x＝，m的值无法确定．
18．(本小题满分17分)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明：某种红茶用95 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至55 ℃时饮用可以产生最佳口感，现在室温25 ℃下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1 min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30
设茶水温度从95 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：
①y＝(k>0)；
②y＝kax＋b(k>0,0③y＝loga(x＋k)(a>1，k>0，x≥0)．
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2 min的数据求出相应的解析式；
(2)根据(1)中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间．
参考数据：lg 3≈0.477，lg 7≈0.845.
【解析】　(1)选择②y＝kax＋b(k>0,0对于模型①，当x＝0时，函数无意义，故而排除；
对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；
对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；
故应选择模型②.
将前2 min的数据代入，
得解得
所以所求函数解析式为y＝70×0.9x＋25.
(2)由(1)中模型可得70×0.9x＋25＝55，
即0.9x＝，所以x＝log0.9，
即x＝＝≈＝＝8，
所以刚泡好的红茶放置8 min能达到最佳饮用口感．
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝ln(ex＋e－x)．
(1)判断f(x)的奇偶性并求f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝f(ax)－f(x－1)(a∈R)，若g(x)有唯一零点，求实数a的取值集合；
(3)若对 x∈R，不等式e2x＋e－2x－(2m＋1)·ef(x)＋m(m＋1)＋2≥0恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)由题意可知f(x)＝ln(ex＋e－x)的定义域为R， x∈R，则－x∈R，
f(－x)＝ln(e－x＋ex)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数；
任取x2>x1>0，则f(x2)－f(x1)＝ln－，
当x2>x1>0时，，
所以f(x2)－f(x1)＝ln>0，
所以f(x)＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，
根据偶函数的性质知，f(x)＝ln(ex＋e－x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)＝ln(ex＋e－x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)函数g(x)＝f(ax)－f(x－1)的零点就是方程f(ax)－f(x－1)＝0的解，
因为g(x)有唯一零点，所以方程f(ax)－f(x－1)＝0有唯一的解，
因为函数f(x)为偶函数，所以方程变形为f(|ax|)＝f(|x－1|)，
因为函数f(x)在(0，＋∞)上的单调递增，所以|ax|＝|x－1|，
平方化简得(1－a2)x2－2x＋1＝0，
当1－a2＝0时，a＝±1，经检验方程有唯一解，
当1－a2≠0时，Δ＝4－4(1－a2)＝0，解得a＝0，
综上可知，a的取值集合为{－1,1,0}．
(3)设t＝ex＋，则t≥2，
所以原命题等价于当t≥2时，不等式t2－(2m＋1)t＋m(m＋1)≥0恒成立，
令h(t)＝t2－(2m＋1)t＋m(m＋1)＝(t－m)[t－(m＋1)]，
函数h(t)有两个零点m和m＋1，且开口向上，
要使t≥2时，不等式t2－(2m＋1)t＋m(m＋1)≥0恒成立，
则h(t)min≥0，所以m＋1≤2，即m≤1.
∴实数m的取值范围为(－∞，1]．
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