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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第1课时　集合的概念
新课程标准解读 学科核心素养
通过实例了解集合与元素的含义，掌握集合中元素的三个特征，会利用集合中元素的特征解决一些简单问题. 数学抽象
理解元素与集合的属于关系，识记常见数集的表示符号. 逻辑推理
教材梳理　明要点
第十九届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会共设42个竞赛大项，包括31个奥运项目和11个非奥运项目，其中电子竞技和霹雳舞两个项目是首次在亚运会上亮相．
问题：
1．参加第十九届亚洲运动会的所有运动员能否构成一个集合？
2．所有高个子运动员能否构成一个集合？
?情境导入
[提示1]
参加本届运动会的运动员是确定的且互不相同的个体，可以构成一个集合．
[提示2]
“高个子”没有量化标准，不能确定一个运动员是否是高个子运动员，故不能构成一个集合．
知识点一　元素与集合
1．元素：一般地，我们把____________统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；
2．集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为______)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
?新知初探
研究对象
总体
集
知识点二　集合中元素的特征
1．集合中元素的特征：__________，__________，__________.
2．集合相等：只要构成两个集合的元素是__________，我们就称这两个集合是相等的．
确定性
互异性
无序性
一样的
知识点三　元素和集合之间的关系
1．元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A ________ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A ________ a不属于集合A
a∈A
a A
2.常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
[知识点反思]
1．集合是一个整体，暗含“所有”“全体”的含义；
2．组成集合的元素可以是数学中的数、代数式、方程、点、图形，也可以是现实生活中的事物或人等；
3．组成集合的元素个数可以有限，也可以无限．含有有限个元素的集合为有限集，含有无限个元素的集合为无限集；
4．集合中的元素必须是确定的，不能模棱两可；任何两个元素不能相同，且与顺序无关．
1．(多选)下列给出的对象中，能构成集合的是( 　 )
A．品德高尚的同学 B．我们学校2024级高一新生
C．所有的三角形 D．小于10的自然数
【解析】　“高尚”没有严格的标准，选项A中的元素不能构成集合，故选BCD.
?预习自测
2．用符号“∈”或“ ”填空：




∈
∈
题型探究　提技能
1.(1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是( 　 )
A．中国古代四大发明
B．周长为10 cm的三角形
C．方程x2＋2x－3＝0的实数根
D．地球上的小河流
(2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与Q相等，则a＝________.
题型一
集合的基本概念
１
±2
[方法总结1]
1．判断一组研究对象是否能构成集合，关键是看各对象能否满足确定性、互异性；
2．若两个集合相等，则这两个集合中的元素完全相同，但它们的顺序可以不同．
【解析】　(1)在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；在B中，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；在C中，方程x2＋2x－3＝0的实数根为－3和1，能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合．故选ABC.
(2)由题意得a2＝4，a＝±2.
１
(1)下列说法中正确的是( 　 )
A．在平面内与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．高中学生中的游泳能手能构成集合
C．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
D．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形
－1
【解析】　(1)在平面内与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合，故A错误；游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合，故B错误；由集合中元素的互异性可知，由title中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共4个，故C错误；因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能构成等腰三角形，故D正确．故选D.
2．(1)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是( 　 )
题型二
元素与集合的关系
(2)(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( 　 )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
2
[方法总结2]
判断元素与集合关系的两种方法
1．直接法：判断该元素在已知集合中是否出现．
2．推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
2
(1)(多选)下列关系中，正确的有( 　 )
0,1,2
(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
3.已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素.求x的值．
题型三
集合中元素特征的应用
3
[方法总结3]
解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．
【解析】　由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，
得集合的三个元素分别为－3，－3,12，
不满足集合中元素的互异性；
3
已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为____________.
【解析】　∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.
0或－1
随堂检测　重反馈
1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( 　 )
A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数
C．点(2,1)与(1,2) D．未来世界的高科技产品
【解析】　A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，点(2,1)与(1,2)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品没有判断标准，是不确定的，不能构成一个集合．故选BC.
2．下列元素与集合的关系中，正确的是( 　 )
A．－1∈N B．0 N*
3．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1______B(填“∈”或“ ”)．
【解析】　由集合相等的定义可知，1∈B.
4．设集合A含有两个元素2，a；集合B含有两个元素3，b，若A＝B，则a＋b＝______.
【解析】　由题意得a＝3，b＝2，所以a＋b＝5.
∈
5第一章　1.1　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列各组对象能组成一个集合的是( 　 )
①我校高一年级所有聪明的学生；②所有的平行四边形；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
【解析】　①④不符合集合中元素的确定性．故选C.
2．已知集合S中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( 　 )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】　因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( 　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．故选C.
4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( 　 )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】　∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A.
5．如果集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( 　 )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
【解析】　∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a A，故a＝2或4.故选B.
6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( 　 )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
【解析】　因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.
7．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7) ∈　P(填“∈”或“ ”)．
【解析】　直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
8．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是 k≠±1　.
【解析】　由集合元素的互异性可知，k2≠1，所以k≠±1.
9．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
【解析】　因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由①知x＝0应舍去．
综上知，x＝1，y＝0.
B组·综合运用
11．(多选)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( 　 )
A．3∈A，－1 A B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A D．3 A，－1 A
【解析】　当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1.所以3∈A，－1∈A.故选ACD.
12．已知集合A含有两个元素1和2，集合B是方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝ －3　；b＝ 2　.
【解析】　因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．所以即
13．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为 －1±　.
【解析】　由题意，得＝a，∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±.
14．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
【解析】　(1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1.
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
C组·拓展提升
15．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为 －1或－4　.
【解析】　∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3.①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，|a＋1|＝3，此时与集合元素的互异性相矛盾，因此应舍去．当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．综上可知a＝－1或a＝－4.
16．设集合S中的元素x＝m＋n，m，n∈Z.
(1)若a∈Z，问a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个元素x1，x2，问x1＋x2，x1·x2是否属于S
【解析】　(1)a是集合S中的元素，因为a＝a＋0×∈S.
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m，n，p，q∈Z.
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋p)＋(n＋q)，因为m，n，p，q∈Z.
所以n＋q∈Z，m＋p∈Z.
所以x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z.
所以x1·x2∈S.
综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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