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第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第2课时　集合的表示
新课程标准解读 学科核心素养
掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 数学抽象
能够运用列举法和描述法表示一些简单集合. 数学抽象
教材梳理　明要点
语言是人类交流和沟通的重要工具．集合可以用自然语言来叙述，如何用数学的语言来表示集合呢？
?情境导入
[提示]
我们可以用列举法和描述法来表示集合．
知识点一　列举法
把集合的所有元素____________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做__________.
知识点二　描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为______________________，这种表示集合的方法称为描述法．
?新知初探
一一列举
列举法
{x∈A|P(x)}
[知识点反思]
1．列举法表示集合，元素间要用“，”隔开，元素个数较多且元素的排列又呈现一定的规律时，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}．
2．用描述法表示集合，元素的代表符号不能省略，如{x|x>1}不能写成{x>1}；所有描述的内容都要写在花括号内，如{x∈Z|x＝2m，m∈N*}；元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合{x∈R|x<20}也可表示为{x|x<20}．
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)由1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
【解析】　(1)与(3)都是用列举法表示集合，(2)中只有一个元素(1,2)．
?预习自测
√
×
√
2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的集合是( 　 )
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
【解析】　该集合是点集，元素的代表符号应为点的坐标(x，y)，故选C.
题型探究　提技能
1.用列举法表示下列集合：
(1)大于4且不大于8的整数构成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝x＋2 024与坐标轴的交点组成的集合．
题型一
用列举法表示集合
１
[方法总结1]
用列举法表示集合的步骤
1．求出集合的元素；
2．把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
3．用花括号括起来．
【解析】　(1)大于4且不大于8的整数有5,6,7,8，故所求集合为{5,6,7,8}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝x＋2 024，得y＝2 024，即直线与y轴的交点是(0,2 024)，将y＝0代入y＝x＋2 024，得x＝－2 024，即直线与x轴的交点是(－2 024,0)，故直线与坐标轴的交点组成的集合是{(0,2 024)，(－2 024,0)}．
１
用列举法表示下列集合：
(1)16的约数组成的集合A；
“约数”是正整数
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合B；
【解析】　(1)16的约数有1,2,4,8,16.故A＝{1,2,4,8,16}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的解为x＝2或x＝4，所以B＝{2,4}．
2.用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
题型二
用描述法表示集合
2
[方法总结2]
描述法表示集合的两个步骤
1．写代表元素：在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．注意集合中的元素是数还是点或是其他元素；
2．明确元素的特征：在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【解析】　(1){x∈R|1(2){(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
2
用描述法表示下列集合：
(1)大于6的全体奇数组成的集合；
(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；
(3)所有的三角形组成的集合．
【解析】　(1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于6，故k≥3，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥3}．
(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．
(3){x|x是三角形}．
3.已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数k组成的集合；
等价于方程kx2－8x＋16＝0只有一个根或两个相等实根
(2)若集合A中有两个元素，求实数k组成的集合．
等价于方程有两个不等实根
题型三
集合表示法的综合应用
3
[方法总结3]
由集合的元素个数求参数问题的关注点
1．已知集合用描述法给出，要弄清集合的代表元素及其限制条件；
2．若所给方程是一元二次方程的形式，要对方程中二次项系数是否为零分类讨论．
【解析】　(1)①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；②当k≠0，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
(2)由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.所以实数k的值组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．
3
(1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
(2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，
(2)当a＝0时，方程化为－2x＋2＝0，解得x＝1，此时M＝{1}，满足条件．
随堂检测　重反馈
1．(多选)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( 　 )
A．{－2,0,2,4,6,8,10} B．{0,2,4,6,8,10}
C．{x|－3【解析】　由题意可知，满足题设条件的有选项AD，故选AD.
2．下列集合中恰有2个元素的集合是( 　 )
A．{x2－x＝0} B．{y|y2－y＝0}
C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x}
【解析】　选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素．B选项中化简得{0,1}符合题意．C选项是个无限集，D选项也是无限集．故选B.
3．集合A＝{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示的是( 　 )
A．第二象限的点
B．第四象限的点
C．第二和第四象限的点
D．不在第一象限也不在第三象限的点
【解析】　A＝{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}的元素满足xy<0或xy＝0，当xy＝0时，表示两个坐标轴上的点，当xy<0时，表示第二象限或者第四象限的点．故选D.
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________________.
【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
{－1,4}第一章　1.2　第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为( 　 )
A．{(1,2)} B．{(2,1)}
C．{1,2} D．{x2－3x＋2＝0}
【解析】　解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1,2}．故选C.
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( 　 )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
【解析】　C中集合是含有一个方程作为元素的集合，其他三个都是以实数1为元素的集合．故选C.
3．对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( 　 )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
【解析】　A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的．故选D.
4．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( 　 )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C. D．
【解析】　解方程组得故该集合为{(0,1)}．故选B.
5．(多选)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( 　 )
A．{x|x＝2k－1，k∈N}
B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}
D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
【解析】　选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.故选BD.
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为( 　 )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】　由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1 N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0,1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组的解是有序实数对，其解集应为故③不正确．故选D.
7．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为 {x|x＝，n∈N*}　.
【解析】　注意到集合中的元素的特征为，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N*}．
8．两边长分别为3,5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为 {3,4,5,6,7}　，用描述法表示为 {x|2＜x＜8，x∈Z}　.
【解析】　设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：5－3＜x＜5＋3，于是2＜x＜8，所以x的取值范围为：2＜x＜8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3,4,5,6,7}，用描述法表示为{x|2＜x＜8，x∈Z}．
9．用列举法表示下列集合：
(1)；
(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
【解析】　(1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，
则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，
其对应的y的值分别为3,6,9,12.
所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．
10．用描述法表示下列集合．
(1){2,4,6,8,10,12}；
(2)；
(3)被5除余1的正整数集合；
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(5)方程组的解组成的集合．
【解析】　(1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．
(2).
(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．
(4){(x，y)|xy<0}．
(5)或 .
B组·综合运用
11．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，则B中所含元素的个数为( 　 )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】　由A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，当x＝3时，y＝1,2，满足集合B.当x＝2时，y＝1,3，满足集合B.当x＝1时，y＝2,3，满足集合B.共有6个元素．故选C.
12．(多选)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则( 　 )
A．a∈M B．a∈P
C．b∈M D．b∈P
【解析】　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P.故选AD.
13．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是 0或1　.
【解析】　集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－，此时A＝，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.
14．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为 4　.
【解析】　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
C组·拓展提升
15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( 　 )
A．18 B．17
C．16 D．15
【解析】　因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个．故选B.
16．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为“可倒数集”；
(2)试写出一个含3个元素的“可倒数集”．
【解析】　(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是“可倒数集”．
(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，
故可以取集合A＝或或等(答案不唯一)．
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