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第一章　集合与常用逻辑用语
1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
新课程标准解读 学科核心素养
理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 数学抽象、数学运算
能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学运算、直观想象
教材梳理　明要点
学校高一年级准备成立一个物理兴趣小组，要求成员同时满足：
(1)物理成绩不低于80分；
(2)数学成绩不低于120分．
问题：
如果满足条件(1)的同学组成的集合记为M，满足条件(2)的同学组成的集合记为N，而能成为物理兴趣小组成员的同学组成的集合记为P，满足条件(1)或(2)的同学组成的集合记为Q，那么集合M、N与集合P、Q有什么关系呢？
?情境导入
[提示]
集合的P元素既属于集合M，又属于集合N；集合Q的元素要么属于集合M，要么属于集合N，也可能既属于集合M，又属于集合N.
知识点一　并集
?新知初探
自然语言 一般地，由所有属于集合A______属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________，记作________(读作“__________”)
符号语言 A∪B＝_____________________
图形语言
性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝A B A，A (A∪B)，B (A∪B)
或
并集
A∪B
A并B
{x|x∈A，或x∈B}
知识点二　交集
自然语言 一般地，由所有属于集合A______属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________，记作________(读作“__________”)
符号语言 A∩B＝________________________
图形语言
性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝A A B，(A∩B) (A∪B)，(A∩B) A，(A∩B) B
且
交集
A∩B
A交B
{x|x∈A，且x∈B}
[知识点反思]
并集是由两个集合的元素合并在一起构成的新的集合，注意集合中元素的互异性，相同的元素在并集中只能出现一次；每一个集合都是并集的子集．交集是由两个集合的公共元素组成的新的集合，它是每一个集合的子集；当两个集合没有公共元素时，交集为空集．
1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝( 　 )
A．{0,1,2} B．{2}
C．{2,4} D．{0,1,2,4}
【解析】　M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．故选D.
?预习自测
2．(2023·新高考Ⅰ卷改编)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x≤－2或x≥3}，则M∩N＝( 　 )
A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}
C．{－2} D．{2}
【解析】　M∩N＝{－2，－1,0,1,2}∩{x|x≤－2或x≥3}＝{－2}．故选C.
题型探究　提技能
1.(1)若集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－2x＝0}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3题型一
并集的运算
１
[方法总结1]
求集合并集的两种方法
1．定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
2．数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．
【解析】　(1)A＝{－1,2}，B＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，A∪B＝{－1,0,2}．
∴A∪B＝{x|－3１
(1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∪B＝( 　 )
A．{2,3} B．{0,1,2,3}
C．{1,2} D．{1,2,3}
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|2≤x<4}
【解析】　(1)因为A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．故选B.
(2)因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|22.(1)设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2,3}
C．{3,4} D．{2,3,4}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B＝( 　 )
A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}
题型二
交集的运算
2
[方法总结2]
求两个集合交集的方法
1．明确集合中的元素；
2．元素个数有限时，利用定义或Venn图求解，元素个数无限时，借助数轴求解；
3．若所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
【解析】　(1)由题设得A∩B＝{2,3}，故选B.
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D.
2
(1)设集合A＝{x|－1A．{x|0C．{1,2} D．{0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，则A∩B＝( 　 )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}
【解析】　(1)B＝{0,1,2,3}，A∩B＝{0,1,2}．故选D.
(2)∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．故选A.
3.(1)设集合M＝{x|－2(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求实数a的取值范围；
B A
②若A∪B＝B，求实数a的值．
A B
题型三
根据并集与交集运算求参数范围
3
[方法总结3]
利用交、并集运算求参数的方法
首先将集合的运算关系转化为两个集合之间的关系，再将两个集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．
①∵A∩B＝B，∴B A，即B＝ ，{0}，{2}，{0,2}．
当B＝ 时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
②∵A∪B＝B，∴A B.
∵A＝{0,2}，而B中方程至多有两个根，∴A＝B，由①知a＝1.,
3
(1)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
①若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
②若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
(2)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
①当m＝2时，求M∩N，M∪N；
②当M∩N＝M时，求实数m的值．
所以a的取值范围为{a|－1≤a≤2}．
②因为A∪B＝B，所以A B，所以a>5或a＋3<－1，
即a的取值范围为{a|a>5或a<－4}．
(2)①由题意得M＝{2}．
当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
②∵M∩N＝M，∴M N，∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.
随堂检测　重反馈
1．设集合A＝{x|0A．{2} B．{2,3}
C．{0,2,3} D．{2,3,5}
【解析】　由题设得A∩B＝{2,3}，故选B.
2.设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是( 　 )
A．{2,4,6} B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6} D．{6}
【解析】　图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C.
3．若集合A＝{x|－1【解析】　借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1R
{x|－14．已知集合A＝{x|x－a>0}，B＝{x|2－x<0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________________.
【解析】　∵A＝{x|x>a}，B＝{x|x>2}，又A∪B＝B，∴A B.∴a≥2.
{a|a≥2}第一章　1.3　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x∣－5A．{－1,0} B．{2,3}
C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2}
【解析】　因为A＝{x∣－5从而A∩B＝{－1,0}．故选A.
2．设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于( 　 )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
【解析】　(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩C＝{1,2,4}．故选B.
3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( 　 )
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)} D．(2,1)
【解析】　A∩B＝＝{(2,1)}．故选C.
4．已知集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，则集合B等于( 　 )
A．{0,1} B．{0,2}
C．{1,2} D．{1}
【解析】　∵集合A＝{1,2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2}，∴1∈B,0∈B,2 B，则B＝{0,1}．故选A.
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1【解析】　在数轴上表示出集合A，B即可知a的取值范围是a>－1.故选C.
6．(多选)若集合M N，则下列结论正确的是( 　 )
A．M∩N＝M B．M∪N＝N
C．N (M∩N) D．(M∪N) N
【解析】　若M N，则可知M∩N＝M，M∪N＝N，故A，B正确；从而(M∩N) N，故C错误；(M∪N) N，故D正确．故选ABD.
7．已知集合A＝，B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B＝ {0,1,2}　.
【解析】　因为A＝，B＝{x∈Z|x≤2}，所以A∩B＝，所以A∩B＝{0,1,2}．
8.已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有 2　个．
【解析】　M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
9．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【解析】　(1)∵A∩B＝{2}，
∴2∈A且2∈B，∴4＋2a＋12＝0,4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，
∴(A∪B)∩C＝{2}．
10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(1)若m＝－3，求A∩B；
(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)当m＝－3时，B＝{x|－7故A∩B＝{x|－3≤x<－2}．
(2)因为A∪B＝A，故B A，
若2m－1≥m＋1，即m≥2，则B＝ ，符合题意；
若m<2，则解得－1≤m<2，
综上，实数m的取值范围是{m|m≥－1}．
B组·综合运用
11．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则符合条件的实数m的值组成的集合为( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　当m＝0时，B＝ ，A∩B＝B，符合题意；当m≠0时，x＝，要使A∩B＝B，则＝1或＝2，即m＝1或m＝.综上，m的值为0,1，，故选C.
12．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( 　 )
A．2 B．3
C．4 D．6
【解析】　依题意A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．则A∩B中元素的个数为4.故选C.
13．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r等于( 　 )
A．12 B．6
C．－14 D．－12
【解析】　因为A∩B＝{－2}，所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}，因为A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2,5}，所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，所以p＋q＋r＝－14.故选C.
14．设集合M＝{x|－4【解析】　由M∩N＝N，得N M.故当N＝ ，即t＋2≥2t－1，即t≤3时，M∩N＝N成立；当N≠ 时，由图得无解．综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}．
C组·拓展提升
15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店：
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有 16　种；
(2)这三天售出的商品最少有 29　种．
【解析】　设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．
(2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝(43－y)种．
由于所以0≤y≤14.
所以(43－y)min＝43－14＝29.
16．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
【解析】　由题意，得7∈A,7∈B且－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x＝－2或x＝3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
又2∈A，故2∈(A∩B)＝C，
但2 C，故x＝－2不符合题意，舍去．
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7，
所以2y＝－1，解得y＝－，符合题意，
所以A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，
所以A∪B＝{－4，－1,2,7}．
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