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第一章　1.4　1.4.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　设A＝{x|12．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( 　 )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．故选A.
3．已知x∈R，则{x|x<－1}是的( 　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　{x|x<－1}?，所以“{x|x<－1}”是“”的充分不必要条件．故选A.
4．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( 　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】　由A∩B＝A∩C，若A＝ ，则不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.
5．在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的( 　 )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当B＝90°或C＝90°时，△ABC为直角三角形，但不能推出AB2＋AC2＝BC2，故选A.
6．下列说法正确的是 ②④　.
①x2≠1是x≠1的必要条件；
②x>5是x>4的充分不必要条件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；
④x2<4是x<2的充分不必要条件．
【解析】　由x2≠1 x≠1；x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．
7．已知p：x<8，q：x【解析】　因为p：x<8，q：x8．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为 －或　.
【解析】　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，a≠0，即x＝－.由题意知pq，q p，所以有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.综上可知，a＝－或.
9．若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
【解析】　集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
(1)若A∪B＝R，则b≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.
10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【解析】　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足即0＜a≤.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
B组·综合运用
11．下列说法正确的是( 　 )
A．已知a，b∈R，则“a＞b＋1”是“|a|＞b＋1”的必要不充分条件
B．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的必要不充分条件
C．“a＞0”是“a＋1＞0”的充分不必要条件
D．若“x＝－1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为1
【解析】　因为|a|≥a，所以若a＞b＋1，则|a|＞b＋1，充分性成立，故A错误；因为{x|1＜x＜2}?{x|2x＞1}，所以p是q成立的充分不必要条件，故B错误；因为{a|a＞0}?{a|a＋1＞0}，所以“a＞0”是“a＋1＞0”的充分不必要条件，故C正确；若“x＝－1”是“x＜a”的必要不充分条件，则{x|x＜a}?{－1}，则不存在这样的a，故D错误．故选C.
12．(多选)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为( 　 )
A．－4≤x≤－1
B．1≤x≤4
C．－4≤x≤－1或1≤x≤4
D．－4≤x≤4
【解析】　由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1或1≤x≤4，∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.
13．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( 　 )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
【解析】　命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为 x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C.
14．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝ 3或4　.
【解析】　易得方程x2－4x＋m＝0的根为x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4.又m∈N*，所以m的值可取1,2,3,4，验证可得m＝3或m＝4符合题意，反之，当m＝3或m＝4时，可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．
C组·拓展提升
15．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R.
(1)当a＝2时，求A∩B，( UA)∩( UB)；
(2)若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；
UA＝{x|x<1或x>7}，
UB＝{x|x<－2或x>4}，
( UA)∩( UB)＝{x|x<－2或x>7}．
(2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，
∴A?B.
①若A＝ ，则a－1>2a＋3，解得a<－4；
②若A≠ ，由A?B，得
且a－1≥－2与2a＋3≤4不同时取等号；
解得－1≤a≤.
综上：a的取值范围是 .
16．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】　若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，
则有且1－m≤－2与1＋m≥6不同时取等号；解得m≥5，
所以，实数m的取值范围是m≥5.
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，
则有解得0＜m≤3，
所以，实数m的取值范围是0＜m≤3.
若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B，
则有方程组无解．
所以，不存在满足条件的实数m.
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第一章　集合与常用逻辑用语
1.4　充分条件与必要条件
1.4.2　充要条件
教材梳理　明要点
问题：
“开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢？
?情境导入
[提示]
由于命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”是真命题，它的逆命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”也是真命题，所以“开关A闭合”既是“灯B亮”的充分条件，也是“灯B亮”的必要条件．
知识点一　充要条件
一般地，
(1)如果p q且q p，则称p是q的____________条件，简称为________条件；
?新知初探
充分必要
充要
[知识点反思1]
“p是q的充要条件”，可记作p q，读作p与q等价，也可以说成“p成立当且仅当q成立”或“q成立当且仅当p成立”．
知识点二　用集合的观点理解充分条件与必要条件
p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的( 　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形，故选C.
?预习自测
2．下列各题中，p是q的充要条件的是________________.(填序号)
(1)p：3x＋2＞5，q：－2x－3＜－5；
(2)p：a＞2，b＜2，q：a＞b；
(3)p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形；
(4)p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解．
(1)(4)
题型探究　提技能
1.(1)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，“x∈A”是“x∈B”的________条件( 　 )
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
题型一
充要条件的判断
(2)判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
①p：|x|＝|y|，q：x3＝y3；
②p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B；
③p：A B，q：A∪B＝B；
④p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等．
１
[方法总结1]
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
1．定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；
2．集合法：即利用集合的包含关系判断；
3．等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法；
4．传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
【解析】　(1)因为A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}＝{x|x＝3×2z，z∈N}，所以B?A，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选B.
(2)①因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件．
②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件．
③若A B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A B，故p是q的充要条件．
④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全等，故p是q的充分不必要条件．
１
(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是( 　 )
A．ab＝0 B．ab>0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( 　 )
A．丙是甲的充分不必要条件
B．丙是甲的必要不充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙是甲的既不充分又不必要条件
【解析】　(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.
2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
题型二
充要条件的证明
2
[方法总结2]
充要条件的证明策略
1．要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；
2．在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
【证明】　设p：ac＜0，q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
(1)充分性(p q)：
(2)必要性(q p)：
所以ac＜0成立，即必要性成立，
由(1)(2)可得，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
2
证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．
【证明】　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc △ABC为等边三角形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，
所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，
所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上可知，命题得证．
3.已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
题型三
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
①p对应的集合A是q对应的集合B的真子集；
②q对应的集合B是p对应的集合A的真子集．
3
[方法总结3]
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
1．根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系；
2．根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
【解析】　设p对应的集合为A＝{x|x－2＞0}，即A＝{x|x＞2}．
q对应的集合为B＝{x|ax－4＞0}．
解得a＞2，故实数a的取值范围为{a|a＞2}．
②当a＜0时，显然不满足题意．
综上，实数a的取值范围为{a|0＜a＜2}．
3
(1)已知p：－1(2)已知x∈R，p：x2{m|m>2}
{a|a≥1}
随堂检测　重反馈
1．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( 　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】　由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b时，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.
2．若“xA．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
【解析】　因为“x3．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________________.
【解析】　因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，所以m>2.
{m|m>2}
4．二次函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是____________.
m＝－2

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