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第一章　1.5　1.5.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( 　 )
A． x∈R，|x|＋x2<0
B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2<0
D． x∈R，|x|＋x2≥0
【解析】　原命题是全称量词命题其否定是“ x∈R，|x|＋x2<0”．故选C.
2．对某次考试，有命题p：所有一班学生都会做第1题，那么命题p的否定是( 　 )
A．所有一班学生都不会做第1题
B．存在一个一班学生不会做第1题
C．存在一个一班学生会做第1题
D．至少有一个一班学生会做第1题
【解析】　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴命题p：所有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做第1题．故选B.
3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( 　 )
A． x∈R，|x|＞0 B． x∈R，|x|＞0
C． x∈R，|x|≤0 D． x∈R，|x|≤0
【解析】　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，再否定命题结论．故选C.
4．(多选)下列四个命题中，其否定是假命题的有( 　 )
A．有理数是实数
B．有些四边形不是菱形
C． x∈R，x2－2x＞0
D． x∈R,2x＋1为奇数
【解析】　由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题．有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题． x∈R，x2－2x＞0的否定： x∈R，x2－2x≤0，是真命题． x∈R,2x＋1为奇数的否定： x∈R,2x＋1都不是奇数，是假命题．故选ABD.
5．(多选)对下列命题的否定说法正确的是( 　 )
A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p： n∈N,2n≤100；p的否定： n∈N,2n>100
【解析】　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．故选ABD.
6．若命题p： a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则 p： a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解　.
【解析】　 p： a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解．
7．若命题“ x∈，x＋m<0”是假命题，则实数m的取值范围是 　.
【解析】　命题“ x∈，x＋m<0”是假命题，即命题的否定为真命题．其否定为：“ x∈，x＋m≥0”，解得m≥.
8．命题p： x∈R，x2＋2x＋5＜0是 存在量词命题　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 假　命题(填“真”或“假”)，它的否定为 p： x∈R，x2＋2x＋5≥0　.
【解析】　命题p： x∈R，x2＋2x＋5＜0是存在量词命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为 x∈R，x2＋2x＋5≥0.
9．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)所有的正方形都是矩形；
(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；
(3)有的四边形没有外接圆．
【解析】　(1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(2)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
(3)所有的四边形都有外接圆，假命题．
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：
(1)空集是任何一个非空集合的真子集；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3) x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|＜2.
【解析】　(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．
(2)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．
(3)该命题是存在量词命题，是真命题．因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.该命题的否定： x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2.
B组·综合运用
11．(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( 　 )
A． p： x∈R，x2＋1＝0
B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题
D．p是假命题， p是真命题
【解析】　因为命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”．且p为真命题，则 p是假命题．故选AC.
12．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则(　　)
A．p和q都是真命题
B．綈p和q都是真命题
C．p和綈q都是真命题
D．綈p和綈q都是真命题
【解析】　对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题，综上，綈p和q都是真命题．故选B.
13．命题p： a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则 p为 a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解　.
14．若命题p： x∈R，x2－4x＋a＝0为假命题，则实数a的取值范围是 {a|a＞4}　，p的否定是 x∈R，x2－4x＋a≠0　.
【解析】　若命题p为假命题，则 p： x∈R，x2－4x＋a≠0为真命题，则Δ＝(－4)2－4a＜0，解得a＞4.
C组·拓展提升
15．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，求实数a的取值范围．
【解析】　命题“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，则其否定“ m∈R，A∩B＝ ”为真命题．
当a＜0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝ ，
符合A∩B＝ ，当a≥0时，因为m2＋3＞0.
所以由 m∈R，A∩B＝ ，
得a＜m2＋3对于 m∈R恒成立，
当m∈R时，有m2＋3≥3，所以a＜3，则0≤a＜3，
综上，实数a的取值范围为{a|a＜3}．
16．已知命题p：“ 1≤x≤2，使得x2＋2ax＋2－a>0”为真命题，试求实数a的取值范围．
【解析】　命题p的否定为：“ 1≤x≤2，使得x2＋2ax＋2－a≤0”，
设y＝x2＋2ax＋2－a,1≤x≤2，
由题意，有解得a≤－3，
因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题，
所以a>－3，即a的取值范围是a>－3.
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第一章　集合与常用逻辑用语
1.5　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
教材梳理　明要点
“3＋2＝5”是可以判断真假的陈述句，是命题，是真命题；它的否定是“3＋2≠5”，是假命题．那么含有量词的命题“ x∈R，x＋1≥0”如何否定呢？
?情境导入
[提示]
x∈R，x＋1<0
知识点一　全称量词命题的否定
1．对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定：____________________.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．
?新知初探
x∈M， p(x)
2．常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
知识点二　存在量词命题的否定
对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定：_____________________.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．
x∈M， p(x)
[知识点反思]
一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假．
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是____________ ________________________.
【解析】　原命题是全称量词命题，其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数．
?预习自测
存在一个能被
2整除的整数不是偶数
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解析】　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.
B
题型探究　提技能
1.(1)已知A为奇数集，B为偶数集，命题p： x∈A,2x∈B，则( 　 )
A． p： x∈A,2x B B． p： x A,2x B
C． p： x A,2x B D． p： x∈A,2x B,
(2)写出下列全称量词命题的否定，并判断真假：
①任何一个平行四边形的对边都平行；
② a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
③ a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
④可以被5整除的整数，末位是0.
题型一
全称量词命题的否定
１
[方法总结1]
1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
【解析】　(1)全称量词命题的否定是存在量词命题． x∈A,2x∈B的否定： x∈A,2x B.故选D.
(2)①该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．因为平行四边形的两组对边都平行，所以这是一个假命题．
②该命题的否定： a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．当a＝0时，方程x2＋2＝0没有实数根，所以这是一个真命题．
③该命题的否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．当a＝0，b＝1，方程ax＝b的解不存在，所以这是一个真命题．
④该命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位不是0；15是可以被5整除的整数，但末位不是0.所以这是一个真命题．
１
写出下列全称量词命题的否定：
(1) x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；
(2)任何一个实数除以1，仍等于这个数；
(3)所有分数都是有理数；
(4)任意两个等边三角形都相似．
【解析】　(1)该命题的否定： x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.
(2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数．
(3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．
2.(1)已知命题p： x>1，x2－4<0，则 p是( 　 )
A． x>1，x2－4≥0 B． x≤1，x2－4<0
C． x≤1，x2－4≥0 D． x>1，x2－4≥0
(2)写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
① x∈R,2x＋1≥0；
题型二
存在量词命题的否定
③有些分数不是有理数．
2
[方法总结2]
1．对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
2．要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
【解析】　(1)命题p： x>1，x2－4<0的否定是： x>1，x2－4≥0.故选D.
2
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角都是60°；
(3) x∈R，使得|x＋1|≤1；
【解析】　(1)该命题的否定：任意一个奇数都能被3整除．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．
(2)该命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都是60°.这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
(3)该命题的否定： x∈R，有|x＋1|>1.这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1.
3.已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若 p为假命题，求实数m的取值范围. 等价于命题p为真命题
题型三
根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数
3
[方法总结3]
1．命题p与 p只能一真一假，解决问题时可以相互转化；
2．对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题．
【解析】　因为 p为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．
(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题)
3
已知“ x∈R，使得不等式x2－4x－a－1<0”不成立，则实数a的取值范围正确的是( 　 )
A．{a|a≤－5} B．{a|a≤－2}
C．{a|a>－5} D．{a|a≥－5}
【解析】　因为“ x∈R，使得不等式x2－4x－a－1<0”不成立，则不等式x2－4x－a－1≥0对 x∈R恒成立，等价于x∈R时a≤(x2－4x－1)min恒成立，因为(x2－4x－1)min＝－5，∴a≤－5.故B、C、D不正确．故选A.
随堂检测　重反馈
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是( 　 )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
【解析】　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．故选C.
2．命题“ x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( 　 )
A． x∈R，x3－2x＋1≠0 B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C． x∈R，x3－2x＋1＝0 D． x∈R，x3－2x＋1≠0
【解析】　存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，可排除C；由存在量词“ ”应改为全称量词“ ”，可排除B.故选D.
3．量词“至多有一个”的否定为______________.
4．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是_______________.
【解析】　因为p为假命题，所以 p为真命题，所以 x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.
至少有两个
{a|a≥1}

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