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第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
新课程标准解读 学科核心素养
会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 数学抽象
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 逻辑推理
第1课时　不等式关系与比较大小
教材梳理　明要点
生活中，我们经常在路上或桥上看到下列交通标志，你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
?情境导入
[提示]
①最低限速50 km/h，v≥50.②限制质量10 t,0<ω≤10.③限制高度3.5 m，0知识点一　不等关系与不等式
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些________________叫做不等式．
知识点二　实数大小比较的基本事实
?新知初探
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么__________ a－b＞0 __________
如果a－b等于0，那么__________ a－b＝0 __________
如果a－b是负数，那么__________ a－b＜0 __________
不等号的式子
a＞b
a＞b
a＝b
a＝b
a＜b
a＜b
知识点三　重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2_______2ab，当且仅当__________时，等号成立．
[知识点反思]
不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a＞b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．利用作差法比较大小只需判断差的符号，无需关注差的大小．
≥
a＝b
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若x2＝0，则x≥0.( )
(3)若x－1≤0，则x<1.( )
(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a?预习自测
√
√
×
√
【解析】　(1)不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)若x2＝0，则x＝0，所以x≥0成立．
(3)若x－1≤0，则x<1或者x＝1，即x≤1.
(4)任意两数之间，有且只有a>b，a＝b，a2．若实数a＞b，则a2－ab______ba－b2.(填“＞”或“＜”)
【解析】　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a＞b，所以(a－b)2＞0.
3．已知x≠2，则x2＋4与4x的大小关系为________________.
【解析】　方法一：x2＋4－4x＝(x－2)2，而x≠2，所以(x－2)2>0，所以x2＋4－4x>0，所以x2＋4>4x.
方法二：由重要不等式可知x2＋4≥4x，当且仅当x＝2时等号成立，又x≠2，所以x2＋4>4x.
＞
x2＋4>4x
题型探究　提技能
1.京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
题型一
用不等式(组)表示不等关系
１
[方法总结1]
利用不等式(组)表示不等关系的注意点
1．在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，且单位要统一；
2．明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等；
3．注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．
【解析】　设复兴号列车速度为v1 km/h，民航飞机的最低速度为v2 km/h，普通客车速度为v3 km/h.
v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，v1、v3的关系：v1＞3v3.
１
用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m，试用不等式表示其中的不等关系．
【解析】　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以02.已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
题型二
比较两数(式)的大小
2
[方法总结2]
作差法比较两个实数大小的基本步骤
【解析】　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
2
设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
【解析】　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
题型三
不等式的证明
3
[方法总结3]
在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质．
【证明】　证法一：利用a2＋b2≥2ab.
3
已知a>0，b>0，求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．
【证明】　因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
随堂检测　重反馈
1．下列说法正确的是( 　 )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
【解析】　A应为x≤2 000；B应为x2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则a、b的大小关系为( 　 )
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
【解析】　a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C.
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示为( 　 )
【解析】　“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.故选D.
4．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为____________________.
【解析】　该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
10y＋x>70第二章　2.1　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( 　 )
A．T<40 B．T>40
C．T≤40 D．T≥40
【答案】　C
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( 　 )
A．M>N B．M＝N
C．M【解析】　M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，故M>N.故选A.
3．已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则M与N的大小关系是( 　 )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不能确定
【解析】　易知M＞0，N＞0，因为M2－N2＝(＋)2－()2＝2＞0，所以M＞N.故选A.
4．若某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于50 m，则用不等式表示为( 　 )
A．v≤120 km/h或d≥50 m
B.
C．v≤120 km/h
D．d≥50 m
【解析】　考虑实际意义，知v≤120 km/h，且d≥50 m．故选B.
5．(多选)下列结论正确的是( 　 )
A．用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300
B．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x＋4y＜200
C．设M＝x2＋3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N
D．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是M＞－5
【解析】　对于A，可得a≥300，故A正确；对于B可得500x＋400y≤20 000，化为5x＋4y≤200，故B错误；M－N＝x2＋3－3x＝2＋＞0，可得M＞N，故C正确；因为x≠－2且y≠1，所以M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2＞0，即M＞－5，故D正确．故选ACD.
6．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为 m3>m2－m＋1　.
【解析】　∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0，∴m3>m2－m＋1.
7．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A，B两点间的距离d满足的不等式为 2≤d≤2　.
【解析】　最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2.故2≤d≤2.
8．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为 8(x＋19)>2 200　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 >9(x>12)　.
【解析】　原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内它的行程就超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)>2 200.若现在每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9(x>12)．
9．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输量如下表：
轮船运输量/t 飞机运输量/t
粮食 300 150
石油 250 100
现在要在一天内至少运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
【解析】　设需要安排x艘轮船和y架飞机．
则即
10．设x∈R且x≠4，试比较x＋3与的大小．
【解析】　因为x＋3－＝x＋3＋＝，
又x2－x＋1＝2＋>0恒成立，
所以当x>4时>0，
此时x＋3>.
当x<4时<0，
此时x＋3<.
B组·综合运用
11．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长分别为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为( 　 )
A．a＋b>c B．
C. D．
【解析】　由三角形三边关系及题意易知选D.
12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( 　 )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
【解析】　观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4.故选A.
13．(多选)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是( 　 )
A．c＜b B．b≥1
C．b≤a D．a＜c
【解析】　因为
由①－②得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，所以b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，所以b＞a，而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.从而c≥b＞a.故选BD.
14．已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0时， >　.
【解析】　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b>a>0且m>0时，>.
C组·拓展提升
15．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小；
(2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
【解析】　(1)因为a＋b>0，(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b
＝a3－a2b＋b3－ab2
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)(a－b)(a＋b)
＝(a－b)2(a＋b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
(2)因为a≥1，
所以M＝－>0，N＝－>0.
所以＝＝.
因为＋>＋>0，
所以<1，所以M16．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略．甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．
(1)若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品和乙两次购买这种物品的平均价格分别为多少；
(2)设两次购买这种物品的价格分别为a元，b元(a＞0，b＞0)，问甲、乙谁的购物比较经济合算．
【解析】　(1)设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n.
所以甲两次购买这种物品的平均价格为
＝5(元)，
乙两次购买这种物品的平均价格为
＝(元)．
(2)由(1)知，甲两次购买这种物品的平均价格为
＝(元)，
乙两次购买这种物品的平均价格为
＝(元)．
因为－＝
＝＝≥0，
所以乙的购物比较经济合算．
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