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第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.2　基本不等式
新课程标准解读 学科核心素养
理解基本不等式的几何意义及其推导过程. 数学抽象、直观想象
能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式. 逻辑推理、数学运算
会运用基本不等式解决生活中的问题. 数学建模
第1课时　基本不等式
教材梳理　明要点
某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售．这样称得的质量是黄金的真实质量吗？
?情境导入
[提示]
不是，可利用基本不等式知识进行计算并证明．
知识点一　基本不等式
?新知初探
a＝b
算术
几何
不小于
知识点二　基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值______.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________.
[知识点反思]
1．基本不等式的常见变形
2．利用基本不等式求最值时要牢记“一正(各项必须为正)、二定(各项之和或各项之积为定值)、三相等(必须验证取等号时条件是否具备)”．
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
?预习自测
(2)a2＋1≥2a中等号成立的条件是a＝1.( )
×
√
×
×
(2)a2＋1≥2a等价于(a－1)2≥0，等号成立的条件是a＝1.
4
题型探究　提技能
1.(1)设0题型一
利用基本不等式判断命题真假
(2)下列不等式一定成立的是( 　 )
１
[方法总结1]
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．
１
下列不等式中正确的是( 　 )
D．a2＋b2≥4ab
题型二
直接利用基本不等式求最值
2
[方法总结2]
负项和求最值时，通过提取负号转化为正数后再利用基本不等式并结合不等式的性质求出最值．
2
2
题型三
基本不等式的变形应用——“凑定值”问题
3
1
[方法总结3]
拼凑法求最值，其实质就是先对代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．
3
－1
随堂检测　重反馈
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( 　 )
2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式恒成立的是( 　 )
4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________.
≥
20第二章　2.2　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列不等式中正确的是( 　 )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2(x≠0)
【解析】　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．故选D.
2．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是( 　 )
A．4 B．8
C．16 D．32
【解析】　∵x＞0，y＞0，∴x＋4y≥2＝8，当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，∴x＋4y的最小值为8.故选B.
3．已知函数y＝x＋－2(x＜0)，则函数有( 　 )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
【解析】　∵x＜0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．故选C.
4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( 　 )
A．16 B．25
C．9 D．36
【解析】　因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，故(1＋x)(1＋y)的最大值为25.故选B.
5．(多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的有( 　 )
A．ab≤1 B．＋≤
C．a2＋b2≥2 D．＋≥2
【解析】　因为ab≤2＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，所以B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确．故选ACD.
6．当x>1时，(x－1)＋＋2的最小值为 8　.
【解析】　令t＝(x－1)＋＋2，因为x－1>0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.
7．已知a>b>c，则与的大小关系是 ≤　.
【解析】　因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.
8．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为 3　，取得最大值时y的值为 2　.
【解析】　因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．
9．(1)已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
【解析】　(1)∵x＞0，∴x＋≥4.
当且仅当x＝(x＞0)，即x＝2时取等号，
∴y＝2－≤2－4＝－2.
∴ymax＝－2.
(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)
≤×2＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号，
故y＝x(1－2x)的最大值为.
10．设x>0，求证：x＋≥.
【证明】　∵x>0，
∴x＋＝x＋＝＋－
≥2－＝2－＝.
当且仅当x＋＝，
即x＝时取等号．
综上所述，原式得证．
B组·综合运用
11．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( 　 )
A．x＝3 B．x＝6
C．x＝5 D．x＝10
【解析】　∵x>2，∴x－2>0，∴＋(x－2)≥2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝5时，等号成立，故选C.
12．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　由x2＋3xy－1＝0可得y＝.因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝.故x＋y的最小值为.故选B.
13．(多选)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( 　 )
A．ab<1 B．1<
C．ab< D．【解析】　∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，又∵>，a＋b＝2，∴>1，∴ab<1<.故选ABC.
14．若a>0，b>0，且a＋2b＝4，求ab的最大值．
【解析】　∵a>0，b>0，a＋2b＝4，
∴4＝a＋2b≥2，
∴ab≤2，当且仅当a＝2b时取等号，
即a＝2，b＝1时取等号．
∴ab的最大值为2.
C组·拓展提升
15．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
【解析】　∵x>0，a>0，且2x＋≥2＝2，
当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，
∴＝3，解得a＝18.
16．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．
【解析】　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，
∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，
当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，
即x＝，y＝时，等号成立．
∴W≤2，
即W的最大值为2.
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