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第2章　2.3　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．不等式6－x－2x2<0的解集是( 　 )
A.
B.
C.
D.
【解析】　不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为 .故选D.
2．关于x的不等式x2－ax－6a2＜0(a＜0)的解集为( 　 )
A．{x|x＜2a或x＞－3a} B．{x|2a＜x＜－3a}
C．{x|x＜3a或x＞2a} D．{x|3a＜x＜－2a}
【解析】　不等式x2－ax－6a2＜0可化为(x－3a)(x＋2a)＜0.∵a＜0，∴不等式的解集为{x|3a3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3；a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( 　 )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2【解析】　由已知得a(x＋2)(x－3)>0，∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－24．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是( 　 )
A．－2≤k≤2 B．k≤－2，或k≥2
C．－22
【解析】　由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象与x轴有一个交点或全部在x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.故选A.
5．若关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集为，则a的取值范围为( 　 )
A．a<0，或a>1 B．a>1
C．0【解析】　不等式ax2－(a＋1)x＋1<0可化为(ax－1)(x－1)<0，由不等式ax2－(a＋1)x＋1<0的解集为，得a>0，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝，且<1，则a的取值范围为a>1，故选B.
6．使有意义的x的取值范围为 {x|－3【解析】　由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－37．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是 1　.
【解析】　将原不等式化为x2＋(m－2)x＜0，即x(x＋2m－4)＜0，故0,2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1.
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 {x|x<－2，或x>3}　.
【解析】　根据表格可以画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)图象的草图，如右图．
由图象得关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2，或x>3}．
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
【解析】　(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3，或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为 .
10．解关于x的不等式ax2－x>0(a∈R)．
【解析】　(1)当a＝0时，不等式为－x>0，所以x<0，
(2)当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与；
①当a>0时，>0，所以x>或x<0；
②当a<0时，<0，所以综上，当a>0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；
当a<0时，不等式的解集为 .
B组·综合运用
11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( 　 )
A．0＜x＜2 B．－2＜x＜1
C．x＜－2或x＞1 D．－1＜x＜2
【解析】　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2＜x＜1}．故选B.
12．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|(x－1)(x－a)＜0}，若集合A∩B＝{2,3}，则实数a的取值范围是( 　 )
A．{a|3＜a＜4} B．{a|3＜a≤4}
C．{a|3≤a＜4} D．{a|a＞3}
【解析】　当a＜1时，B＝{x|a＜x＜1}，显然不满足A∩B＝{2,3}；当a＝1时，B＝ ，不满足A∩B＝{2,3}；当a＞1时，B＝{x|1＜x＜a}，因为A∩B＝{2,3}，所以3＜a≤4.故选B.
13．已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，则实数a＝ －　.
【解析】　因为不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|3＜x＜4}，所以x＝3，x＝4是方程ax2＋bx－1＝0的两个实根，则3×4＝－＝12，解得a＝－.
14．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＜4－m或x＞2m＋4}．若A∩( RB)＝ ，则实数m的取值范围是 {m|m＜1}　.
【解析】　集合A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，因为B＝{x|x＜4－m或x＞2m＋4}，所以 RB＝{x|4－m≤x≤2m＋4}．因为A∩( RB)＝ ，①当4－m＞2m＋4，即m＜0时， RB＝ ，符合题意；②当4－m≤2m＋4，即m≥0时，则4－m＞3，所以0≤m＜1.综上，实数m的取值范围是{m|m＜1}．
C组·拓展提升
15．(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则下列说法正确的有( 　 )
A．x1＋x2＝2 B．x1x2＜－3
C．x2－x1＞4 D．－1＜x1＜x2＜3
【解析】　由关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，所以a＜0，且x1，x2是一元二次方程．ax2－2ax＋1－3a＝0的两根；所以x1＋x2＝2，选项A正确；x1x2＝＝－3＜－3，选项B正确；所以x2－x1＝＝＝2＞4，选项C正确；由x2－x1＞4，可得－1＜x1＜x2＜3是错误的，即选项D错误．故选ABC.
16．解关于x的不等式ax2－(2＋2a)x＋4>0(a∈R)．
【解析】　(1)当a＝0时，原不等式可化为：x－2<0，即x<2.
(2)当a<0时，<0<2，所以(3)当a＝1时，原不等式化为(x－2)2>0，x≠2.
(4)当0或x<2.
(5)a>1时，2>，所以x>2或x<.
综上可知，不等式的解集为：a＝0时，{x|x<2}；
a<0时，；
a＝1时，{x|x≠2}；
0a>1时， .
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第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
新课程标准解读 学科核心素养
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 数学抽象
能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 数学抽象、数学运算
借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 直观想象、逻辑推理
能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决. 数学建模、数学运算
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
教材梳理　明要点
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，问这个矩形的边长要满足什么条件？
?情境导入
[提示]
设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0知识点一　一元二次不等式的概念
只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的整式不等式，称为一元二次不等式．其一般形式是：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
知识点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使ax2＋bx＋c＝0的__________叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的________.
?新知初探
一个
2
实数x
零点
知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
[知识点反思]
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点：是y＝0时方程ax2＋bx＋c＝0的根；是函数图象与x轴的交点的横坐标；
2．一元二次不等式的解集的端点就是对应的二次函数的零点，是其对应的一元二次方程的根．
1．函数y＝x2－2x－3的零点为____________.
【解析】　由y＝0得x2－2x－3＝0，即x＝－1或x＝3.即函数的零点为－1和3.
?预习自测
－1或3
2．不等式x2－2x－3＞0的解集为____________________________.
【解析】　方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．
观察图象可得不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}．
{x|x＜－1或x＞3}
题型探究　提技能
1.解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2－4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
题型一
不含参数的一元二次不等式
１
[方法总结1]
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1．化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；
2．判别式：对不等式左侧分解因式，若不易分解，则计算对应方程的判别式；
3．求实根：求出相应的一元二次方程的实根或根据判别式说明方程有无实根；
4．画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
5．写解集：根据图象写出不等式的解集．
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②，
作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
函数y＝x2－6x＋10的图象在x轴上方，与x轴无交点
∴原不等式的解集为 .
１
解不等式－2x2＋x＋3＜0.
【解析】　不等式－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0.
因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，
又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，
2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a＜1)．
题型二
含参数的一元二次不等式
2
[方法总结2]
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
1．不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0；
2．不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；
3．不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1【解析】　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
2
解关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0(a∈R)．
【解析】　原不等式可化为(x－a)(x－2)<0；
方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两根为x1＝2，x2＝a.
又函数y＝x2－(a＋2)x＋2a的图象开口向上，
则当a＝2时，原不等式的解集为 ；
当a>2时，不等式的解集为{x|2当a<2时，不等式的解集为{x|a题型三
三个“二次”的关系
3
[方法总结3]
三个“二次”中的关系
一元二次不等式的解集的端点就是对应的二次函数的零点，是其对应的一元二次方程的根．可由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数．
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－23
若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
【解析】　因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，
所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，
即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，
故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
随堂检测　重反馈
1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是( 　 )
2．若不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a＋b的值为( 　 )
A．3 B．1
C．－3 D．－1
3．关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( 　 )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞3}
4．不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________________________.
【解析】　－x2－3x＋4＞0 (x＋4)(x－1)＜0 －4＜x＜1.
{x|－4＜x＜1}

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