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(共30张PPT)
第四章　指数函数与对数函数
4.3　对数
4.3.2　对数的运算
教材梳理　明要点
利用对数的性质可以快速地进行特殊的对数运算，例如log66＝1，log61＝0.那么如何计算log63＋log62呢？是否有通用的公式呢？
?情境导入
[提示]
可应用公式logaM＋logaN＝loga(MN)简化计算．
知识点一　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)积的对数：loga(MN)＝__________________________；
(3)幂的对数：logaMn＝________________(n∈R)．
知识点二　换底公式
logab＝______(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)
?新知初探
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
[知识点反思]
积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积，例如loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ.
1．计算log510－log52等于( 　 )
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
【解析】　log510－log52＝log55＝1.故选C．
2．计算：log25·log32·log59＝______.
?预习自测
2
题型探究　提技能
1.用logax，logay，logaz表示下列各式：
题型一
对数的运算性质的应用
１
[方法总结1]
对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
【解析】　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.
１
用logax、logay、logaz表示下列各式：
【解析】　(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.
题型二
利用对数的运算性质化简、求值
2
[方法总结2]
进行对数运算，要注意法则的正用和逆用，例如将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；或将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．
【解析】　(1)原式＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
2
计算下列各式的值：
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2
＝2＋1＝3.
(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．
题型三
换底公式的应用
3
[方法总结3]
换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．在运用换底公式时，若能恰当选用一些公式或重要的结论，将会达到事半功倍的效果．
【分析】　(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．
3
(1)已知x·log32＝1，则4x＝( 　 )
A．4 B．6
C．4log32 D．9
(2)原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.
2
随堂检测　重反馈
1．2log510＋log50.25的值为( 　 )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】　原式＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2.故选C．
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝( 　 )
C．ab D．a＋b
4．若logab·log3a＝4，则b的值为________.
81第四章　4.3　4.3.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于( 　 )
A．a2＋b B．b＋2a
C．a＋2b D．a＋b2
【解析】　lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a＋b.故选B.
2．已知ab>0且ab≠1，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；
③lg2＝lg ；④lg(ab)＝.
其中正确的是( 　 )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．①③
【解析】　当a<0，b<0时，①lg(ab)＝lg a＋lg b不成立；②lg ＝lg a－lg b不成立；③由ab>0，可得>0，lg2＝lg 成立；④根据对数的换底公式可得lg(ab)＝成立．故选C．
3．已知x，y为正实数，则( 　 )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
【解析】　根据对数、指数的运算法则，有2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y．故选D.
4．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为( 　 )
A．3 B．8
C．4 D．log48
【解析】　x＋2y＝log23＋2log4＝log49＋log42＝log4＝log464＝3，故选A．
5．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是( 　 )
A．20 B．2
C．±2 D．400
【解析】　∵2a＝5b＝M，∴a＝log2M＝，b＝log5M＝，∴＝，＝，∴＋＝＋＝＝＝2，∴2lg M＝lg 20，∴lg M2＝lg 20，∴M2＝20，∵M>0，∴M＝2.故选B.
6．计算：27＋lg 4＋2lg 5－eln 3＝ 2　.
【解析】　27＋lg 4＋2lg 5－eln 3＝(33)＋(lg 4＋lg 25)－eln 3＝3＋2－3＝2.
7．设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝ 　.(用a，b表示)
【解析】　＝＝＝.
8．已知2a＝6,3b＝36，则＝ 　，＋＝ 1　.
【解析】　因为2a＝6,3b＝36，所以a＝log26，b＝log336，所以＝＝＝＝；＋＝＋＝log62＋log63＝1.
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg ；(3)lg ；(4)lg .
【解析】　(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z.
10．已知loga2＝m，loga3＝n.
(1)求a2m－n的值；
(2)求loga18.
【解析】　(1)因为loga2＝m，loga3＝n，
所以am＝2，an＝3.
所以a2m－n＝a2m÷an＝22÷3＝.
(2)loga18＝loga(2×32)
＝loga2＋loga32
＝loga2＋2loga3＝m＋2n.
B组·综合运用
11．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为( 　 )
A． B．
C．2 D．1
【解析】　由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋＝，故选B.
12．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( 　 )
A．a－2 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
【解析】　log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A．
13．2021年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半)．则该遗址距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)( 　 )
A．3 200年 B．3 262年
C．3 386年 D．3 438年
【解析】　设时间经过了x年，则＝0.66，两边取对数可得，lg ＝lg 0.66，所以x＝5 730×＝5 730×≈3 438.故选D.
14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，求log(abc)x的值．
【解析】　∵logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxc＝，logxb＝.
∴log(abc)x＝＝＝1.
C组·拓展提升
15．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实数根，则lg(ab)·2＝ 4　.
【解析】　由题意得
∴lg(ab)·2＝(lg a＋lg b)(lg a－lg b)2
＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]
＝2×＝4.
16．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，试求的值．
【解析】　因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，所以(x－y)(x－4y)＝0.
解得x＝y或x＝4y.所以＝1或＝4.
由已知得x＞0，y＞0，x－2y＞0.
当＝1时，x－2y＜0，此时lg(x－2y)无意义，舍去．
当＝4时，代入已知条件，符合题意，综上＝4.
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