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第四章　4.4　4.4.2　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．函数f(x)＝eq \r(log x－1 )的定义域为( 　 )
A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(1,2) D．(1,2]
【解析】　要使y＝eq \r(log x－1 )有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log x－1 ≥0＝log1，))即解得12．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是( 　 )
A．R B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0,1]
【解析】　∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.
3．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是( 　 )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【解析】　a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln 2b>c.故选A．
4．已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( 　 )
A． B．
C．2 D．4
【解析】　函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减，所以[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.故选B.
5．(多选)函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则对于正数x，下列结论正确的是( 　 )
A．f(x2)＝2f(x) B．f(2x)＝f(x)＋f(2)
C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x)
【解析】　因为函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以f(x)＝logax(a>0且a≠1)．所以f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)．所以选项A、B、C正确．
6．比较大小：(1)log22 >　log2；
(2)log8π <　logπ8.
【解析】　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>，所以log22>log2.
(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π<8，所以log8π7．若函数y＝4＋loga(2x－1)(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为 (1,4)　.
【解析】　令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点(1,4)．
8．已知函数f(x)＝则f(8)＝ 3　，若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是 {0}∪[2，＋∞)　.
【解析】　当x＝8时，f(8)＝log28＝3；作出函数f(x)的图象，如图所示，
若直线y＝m与函数f(x)的图象只有1个交点，由图象可知，当m≥2或m＝0时满足条件．
9．已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象．
【解析】　(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x(x>0)的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
10．求下列函数的反函数．
(1)y＝10x；
(2)y＝x；
(3)y＝logx；
(4)y＝log7x.
【解析】　(1)指数函数y＝10x，它的底数是10，
它的反函数是对数函数y＝lg x(x>0)．
(2)指数函数y＝x，它的底数是，
它的反函数是对数函数y＝logx(x>0)．
(3)对数函数y＝logx，它的底数是，
它的反函数是指数函数y＝x.
(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，
它的反函数是指数函数y＝7x.
B组·综合运用
11．已知a>0，且a≠1，若函数y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围是( 　 )
A． B．
C．(1，＋∞) D．∪(1，＋∞)
【解析】　当a∈(0,1)时，由y＝loga(3a－1)恒为正值可得0＜3a－1＜1，解得＜a＜；当a＞1时，由y＝loga(3a－1)恒为正值可得3a－1＞1，解得a＞，又因为a＞1，所以a＞1.综上，a的取值范围是＜a＜或a＞1.故选D.
12．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( 　 )
A．0C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
【解析】　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.故选C．
13．(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是( 　 )
A．k<0,0B．k>0，b>1
C．fg(1)>0(x>0)
D．x>1时，f(x)－g(x)>0
【解析】　由直线方程可知，k>0,01时，g(x)<0，f(x)>0，所以f(x)－g(x)>0，所以D正确．故选ABC．
14．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b的取值范围分别为 (0,1)　， [1，＋∞)　.
【解析】　依题意函数必须是减函数，且y＝logax的图象至少向左平移1个单位长度，故0C组·拓展提升
15．设函数y＝ax的反函数为f(x)，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是 f(a＋1)>f(2)　.
【解析】　因为y＝ax的反函数为f(x)，所以f(x)＝logax.当a>1时，a＋1>2，f(x)＝logax是单调递增函数，则f(a＋1)>f(2)；当0f(2)．综上f(a＋1)>f(2)．
16．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
【解析】　(1)由题意知g(9)＝loga9＝2，
解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
∵函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，
∴f(x)＝logx.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
∴log(3x－1)>log(－x＋5)，
则
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第四章　指数函数与对数函数
4.4　对数函数
4.4.2　对数函数的图象和性质
新课程标准解读 学科核心素养
能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象. 直观想象
探索并了解对数函数的单调性与特殊点，会用函数的图象和代数运算的方法研究对数函数的性质. 数学运算、逻辑推理
知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 数学抽象
第1课时　对数函数的图象和性质(一)
教材梳理　明要点
依据对数定义，y＝ax可化为x＝logay.于是指数函数y＝ax的图象就是函数x＝logay的图象．那么函数x＝logay的图象即指数函数y＝ax的图象与对数函数y＝logax的图象有什么关系呢？
?情境导入
[提示]
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
知识点一　对数函数的图象及性质
?新知初探
0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 ________________
值域 ______
性质 过定点______________，即x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是__________ 在(0，＋∞)上是__________
(0，＋∞)
R
(1，0)
减函数
增函数
知识点二　反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为__________，它们定义域与值域正好________.
反函数
互换
[知识点反思]
1．互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
2．反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．下列说法正确的个数是( 　 )
A．0 B．1
C．2 D．3
?预习自测
2．函数y＝log2x在区间(0,2]上的最大值是( 　 )
A．2 B．1
C．0 D．－1
【解析】　y＝log2x在(0,2]上单调递增，∴ymax＝1，故选B.
题型探究　提技能
A．a4B．a3C．a2D．a3(2)函数f(x)＝loga(－x＋1)＋3(a>0，且a≠1)的图象一定过定点______________.
题型一
对数函数的图象问题
１
(0，3)
[方法总结1]
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)令－x＋1＝1，得x＝0.所以f(0)＝loga1＋3＝3.所以f(x)过定点(0,3).
１
(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为( 　 )
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝______.
－2
2
【解析】　(1)∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵函数f(x)的图象过(1,1)，(－1,1)两点，∴结合选项可知C中的图象符合题意．故选C．
(2)由于函数图象恒过定点(3,2)，
2.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
题型二
利用对数函数的单调性比较大小
2
[方法总结2]
比较对数值大小时常用的四种方法
1．同底数的利用对数函数的单调性．
2．同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
3．底数和真数都不同，找中间量．
4．若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
【解析】　(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，
所以ln 0.3＜ln 2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.,
即log30.2＜log40.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
2
(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( 　 )
A．b＜a＜c　　　　　　 B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
(2)设a＝log0.33，b＝2－1，c＝log23，则( 　 )
A．c>b>a B．c>a>b
C．a>c>b D．b>c>a
【解析】　(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.故选D.
(2)由题得a＝log0.33log22＝1，所以c>b>a.故选A．
题型三
利用单调性解对数不等式
3
[方法总结3]
对数不等式的三种考查类型及解法
1．形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与02．形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．
3．形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
3
(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合．
(2)已知log0.7(2x)【解析】　(1)∵log3x<1＝log33，又函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴x的取值集合为{x|0(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
A．－1　　　　　　 B．1　　　　　　
C．12　　　　　　 D．2
(2)若f(x)为y＝3－x的反函数，则f(x－1)的图象大致是( 　 )
题型四
反函数
4
[方法总结4]
求给定解析式的函数的反函数的步骤
1．求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；
2．从y＝f(x)中解出x；
3．x，y互换并注明反函数的定义域．
(2)由y＝3－x，解得x＝－log3y，∴该函数的反函数为y＝－log3x，即f(x)＝－log3x，而f(x－1)的图象是f(x)的图象右移1个单位，故选C．
4
已知函数y＝f(x)的反函数为y＝2x，则f(3)＝__________.
【解析】　令3＝2x x＝log23，f(3)＝log23.
log23
随堂检测　重反馈
1．若函数y＝loga(x＋3)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是( 　 )
A．(－2,0) B．(0,2)
C．(0,3) D．(－3,0)
【解析】　当x＋3＝1时，即x＝－2时此时y＝0，则函数y＝loga(x＋3)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(－2,0)，故选A．
3．y＝2x与y＝log2x的图象关于( 　 )
A．x轴对称 B．直线y＝x对称
C．原点对称 D．y轴对称
【解析】　函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．故选B.
4．函数f(x)＝x2－6x(x≤0)的反函数为___________________.

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