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第四章　4.4　4.4.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列函数是对数函数的是( 　 )
A．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)
B．y＝loga(x2＋1)(a>0，且a≠1)
C．y＝logx(a>0，且a≠1)
D．y＝2lg x
【解析】　由于对数函数的形式是y＝logax(a>0，且a≠1)，据此判断A、B、D均不符合，故选C．
2．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f等于( 　 )
A．3 B．－3
C．－log36 D．－log38
【解析】　因为函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，
所以解得a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f＝log2＝－3.故选B.
3．(2023·河西高一检测)函数f(x)＝ln(2x－4)的定义域是( 　 )
A．(0,2) B．(0,2]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
【解析】　令2x－4>0,2x>4，x>2，所以定义域为(2，＋∞)．故选D.
4．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( 　 )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
【解析】　∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f(x)＝log2x满足题目要求．故选C．
5．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到( 　 )
A．300只 B．400只
C．600只 D．720只
【解析】　由题意可知alog2(1＋1)＝180，∴a＝180，∴y＝180log2(x＋1)，∴当x＝15时，y＝180log2(15＋1)＝180log216＝180×4＝720.故选D.
6．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是R，则实数a的取值范围是 (－2,2)　.
【解析】　由题意知x2＋ax＋1>0恒成立，所以Δ＝a2－4<0，即－27．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，则f(27)＝ 3　.
【解析】　∵f(x)是对数函数，∴解得m＝2.∴f(x)＝log3x，∴f(27)＝log327＝3.
8．函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝ 2　.
【解析】　由题意可知3x－a>0，即x>，∴函数y＝log(3x－a)的定义域是，由题知函数y＝log(3x－a)的定义域为，∴＝，∴a＝2.
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝.
(2)y＝log|x－2|(25－5x)．
【解析】　(1)要使函数有意义，需
即
即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需
即所以x<2，且x≠1，
故所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2)．
10．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
【解析】　(1)要使函数有意义，则有>0，
即(x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－1，
所以此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
B组·综合运用
11．函数f(x)＝＋的定义域为( 　 )
A．[－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)∪(1,2)
【解析】　要使函数有意义，则需解得x>－1，且x≠1，∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．故选C．
12．(多选)已知对数函数f(x)＝log3x，则方程f 2(x)＝2－log9(3x)的解为( 　 )
A．x＝1 B．x＝3
C．x＝－ D．x＝
【解析】　由已知得(log3x)2＝2－log9(3x)，所以(log3x)2＝2－log3(3x)＝2－(log33＋log3x)，即(log3x)2＋log3x－＝0，令t＝log3x，则方程可化为t2＋t－＝0，解得t＝1或t＝－，所以x＝3或x＝.故选BD.
13．函数y＝＋的定义域为 [1,2)∪(2,3)　.
【解析】　由题意得∴1≤x<3且x≠2.∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．
14．若函数f(x)＝loga(x－1)＋8(a>0，且a≠1)的图象过点M(2，m)，则m＝ 8　.当幂函数g(x)的图象过M点时，g(x)的解析式为 g(x)＝x3　.
【解析】　由题意可知m＝loga(2－1)＋8＝8，∴M(2,8)．设g(x)＝xα，则g(2)＝2α＝8，∴α＝3.∴g(x)＝x3.
C组·拓展提升
15．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．
(1)求y与x的关系式；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少小时(精确到0.1)．
(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602)
【解析】　(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了1个单位的该药物，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x＝(1－20%)y×1＝0.8y，
即y与x的关系式为y＝log0.8x,0(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，
令x＝，则y＝log0.8＝≈7.2，
所以y≤7.2.
所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
16．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
【解析】　设t(x)＝3－ax，
∵a>0，且a≠1，∴t(x)＝3－ax为减函数，
则当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，∴a<.
∴a的范围为(0,1)∪.
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第四章　指数函数与对数函数
4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
新课程标准解读 学科核心素养
通过具体实例，了解对数函数的概念. 数学抽象
通过实例体会对数函数的应用. 数学运算、数学建模
教材梳理　明要点
根据对数的定义，指数式ay＝x(a>0，且a≠1)，可转化为对数式y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，在这个对数式中，y是x的函数吗？
?情境导入
[提示]
y是x的函数，叫做对数函数．
知识点　对数函数
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做____________，其中x是自变量，定义域是________________.
?新知初探
对数函数
(0，＋∞)
[知识点反思]
对数函数的形式特征：(1)a>0，且a≠1；
(2)logax的系数为1；
(3)自变量x的系数为1.例如函数y＝loga(5x)自变量系数不是1，所以不是对数函数．
1．下列函数是对数函数的是( 　 )
A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1) D．y＝ln x
【解析】　判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B、C错，D正确．故选D.
?预习自测
2．函数y＝lg(3x－2)的定义域是( 　 )
A．[1，＋∞)　 B．(1，＋∞)
题型探究　提技能
1.(1)下列函数表达式中，是对数函数的有( 　 )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log2(x＋1)；⑥y＝2log4x.
A．1个　　　　 B．2个　　　　
C．3个　　　　 D．4个
题型一
对数函数概念
(2)(多选)已知对数函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则下列结论正确的是( 　 )
１
[方法总结1]
关于对数函数的解析式
1．从系数为1、底数大于零不等于1、真数为自变量三个方面进行判断；
2．若已知函数为对数函数，则设出解析式，求出底数即可．
【解析】　(1)根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤的真数(x＋1)，∴⑤不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，∴⑥不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．故选B.
１
A．③④⑤　　　　 B．②④⑥　　　　
C．①③⑤⑥　　　　 D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋a2－5a＋4是对数函数，则a＝______.
4
【解析】　(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋a2－5a＋4是对数函数，
2.(1)函数f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为__________________.
题型二
对数型函数的定义域
2
[方法总结2]
求对数型函数的定义域要观察对数型函数的解析式，关注底数大于零且不等于1、真数大于零，式子中是否含有分母、根式等，然后列出不等式(组)求定义域．
2
求下列函数的定义域：
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
解得－1∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．
题型三
对数函数在实际问题中的应用
3
[方法总结3]
利用指数、对数函数解决应用问题
1．列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
2．利用指对互化转化为对数函数y＝logax.
3．代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
【解析】　设过滤y次后杂质含量为x万元，
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．
3
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2024年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)．
【解析】　设经过y年后公司的研发资金为x万元，
所以到2028年，公司研发资金开始超过200万元．,
随堂检测　重反馈
1．下列函数中，是对数函数的是( 　 )
A．y＝logxa(x>0且x≠1) B．y＝log2x－1
C．y＝2log8x D．y＝log5x
【解析】　A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D.
2．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( 　 )
A．(0，1) B．[0，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
【解析】　由1－x>0得x<1，故选D.
3．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1) x是对数函数，则实数a＝______.
【解析】　由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
4．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为__________万元．
【解析】　由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128.
1
128

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