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第四章　4.5　4.5.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列函数的图象中没有零点的是( 　 )
【解析】　从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D.
2．如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”的( 　 )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　由零点存在性定理可知，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，而若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0不一定成立，比如f(x)＝x2在区间(－2,2)内有零点，但f(－2)·f(2)>0，所以“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分而不必要条件，故选A．
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有( 　 )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．故选D.
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( 　 )
A．，0 B．－2,0
C． D．0
【解析】　x≤1时，2x－1＝0，∴x＝0，x>1时1＋log2x＝0，x＝<1，∴f(x)的零点为0.故选D.
5．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( 　 )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
【解析】　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.故选D.
6．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是 0，　.
【解析】　∵f(x)＝x＋b的零点是2，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝.
7．函数f(x)＝的零点的个数为 2　.
【解析】　当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．
8．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 a＜b＜c　.
【解析】　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
9．已知函数f(x)＝1＋－xα(α∈R)，且f(3)＝－.
(1)求α的值；
(2)求函数f(x)的零点．
【解析】　(1)由f(3)＝－，
得1＋－3α＝－，∴α＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋－x，
令f(x)＝0，得1＋－x＝0，即＝0，
∴x＝，∴f(x)的零点为和.
10．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
【解析】　(1)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)有3个零点，分别为－1,1,2.
B组·综合运用
11．若函数f(x)＝2x＋3x＋a在区间(0,1)内存在零点，则实数a的取值范围是( 　 )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(0,5) D．(1，＋∞)
【解析】　函数f(x)＝2x＋3x＋a在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知解得－512．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( 　 )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定
【解析】　根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B错误，D正确；若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错误，C正确．故选CD.
13．(多选)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的值可以是( 　 )
A．2 B．
C． D．
【解析】　当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图(1)所示，由已知得0＜3a＜1，所以0＜a＜；当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图(2)所示，由已知可得0＜3a＜1，所以0＜a＜，结合a＞1可得a∈ .综上可知a的取值范围为.故选CD.
14．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 2　.
【解析】　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数 方程|log0.5x|＝x的根的个数 函数y＝|log0.5x|与y＝x的图象的交点个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是 　.
【解析】　画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．由图可知16．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
【解析】　设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，如图，有两种情况．
第一种情况，
解得－2＜m＜－.
第二种情况，此不等式组无解．
综上，m的取值范围是.
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第四章　指数函数与对数函数
4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
新课程标准解读 学科核心素养
结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系. 数学抽象、直观想象
了解函数零点存在定理，会判断函数零点个数. 直观想象、逻辑推理
教材梳理　明要点
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下面两幅图，哪一幅能说明小明的行程一定曾渡过河？
?情境导入
[提示]
第(1)幅图能说明小明的行程一定曾渡过河．
知识点一　函数的零点
1．定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
?新知初探
f(x)＝0
知识点二　函数的零点存在定理
条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________________，且有f(a)f(b)<0；
结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
连续不断的曲线
[知识点反思]
1．函数的零点不是一个点，而是一个数．该数是函数图象与x轴交点的横坐标；是方程f(x)＝0的根．
2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点时，f(a)f(b)的正负是不能确定的．
1．函数f(x)＝4x－6的零点是( 　 )
?预习自测
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有______个零点．
【解析】 令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．
2
题型探究　提技能
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
题型一
求函数的零点
１
[方法总结1]
函数零点的求法
1．代数法：求方程f(x)＝0的实数根．对于分段函数，需要分段求零点，求出的零点应符合相应段的范围；
2．几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【解析】　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
１
(1)求下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为____________；
②g(x)＝lg x＋2零点为______.
(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝________.
3，－1
－6
【解析】　(1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1.
∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
2.函数f(x)＝ln x＋x3－9的零点所在的区间为( 　 )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
题型二
判断零点所在的区间
2
[方法总结2]
判断函数零点所在区间的3个步骤
1．代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；
2．判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；
3．结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
【解析】　f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln 2＋8－9＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋27－9＝ln 3＋18>0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．故选C．
2
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( 　 )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的
3.函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A．x1<2,22且x2>5
C．x1<2，x2>5 D．25
题型三
函数零点个数问题
3
[方法总结3]
判断函数零点个数的常用方法
1．通过方程根，直接求出函数零点；
2．画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数；或将f(x)＝0移项拆分为两个初等函数，分别画出两个初等函数的图象，则两个初等函数图象的交点个数就是函数零点的个数；
3．结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
【解析】　作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C.
3
(1)已知0A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　
C．3　　　　　　　 D．4
(0，1]
【解析】　(1)函数y＝a|x|－|logax|(0(2)当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以04.已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；　
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
题型四
一元二次方程根的分布问题
4
[方法总结4]
解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
【解析】　(1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，
∴m＝－1或m＝4.
∴实数m的取值范围是(－5，－1)．
4
若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－1【解析】　函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，则由题意可知f(－1)·f(1)<0且f(1)·f(3)<0，
故实数k的取值范围是{k|k<－4或k>2}．
随堂检测　重反馈
1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( 　 )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．故选D.
2．“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的( 　 )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( 　 )
A．(1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(－2,－1)
4．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有______个根．
【解析】　由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．
1

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