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第四章　指数函数与对数函数
4.5　函数的应用(二)
4.5.2　用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 学科核心素养
探索用二分法求方程近似解的思路. 数学抽象
能借助计算工具用二分法求方程近似解. 数学运算
了解用二分法求方程近似解具有一般性. 数学运算、逻辑推理
教材梳理　明要点
某楼道12户居民，东边户与西边户各有六户.有一天连续几次跳闸断电．工作人员为了快速查找电器故障的用户，采用以下方案：先把西边户开关接通，东边户开关断开，若运行稳定，则电器故障户在东边户；若还是跳闸断电，则电器故障户在西边户．确定可能的电器故障边户之后，采取三户断电三户接通的方式继续检测．这种一分为二的检测方法可以快速的缩小检查范围，锁定检测目标．
这种方法在数学中可用来寻找函数的零点．
?情境导入
知识点一　二分法的概念
对于在区间[a，b]上____________且___________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
?新知初探
连续不断
f(a)·f(b)<0
知识点二　用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证____________________.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)
若f(c)＝______，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)______0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)______0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
4．判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|______ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复2～4.
f(a)·f(b)＜0
0
＜
＜
＜
[知识点反思]
并不是所有的函数都可以用二分法求函数的零点，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( 　 )
?预习自测
【解析】　由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A、B、D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选C．
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( 　 )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
【解析】　f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3<0，f(1)＝1＋5＝6>0，∴f(－2)·f(1)<0，故选A．
题型探究　提技能
1.(1)下面关于二分法的叙述，正确的是( 　 )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( 　 )
题型一
对二分法概念的理解
１
[方法总结1]
运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：
1．函数图象在零点附近连续不断；
2．在该零点左右函数值异号．
【解析】　(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．故选B.
(2)由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．故选A．
１
(1)对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( 　 )
A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( 　 )
A．9 B．8
C．7 D．6
【解析】 (1)由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低．故选B.
(2)由题意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.故选A．
2.(1)(多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为( 　 )
A．0.625　　　 B．0.093 75　　　
C．0.125　　　 D．0.096
题型二
用二分法求函数的零点近似值(方程近似解)问题
x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5
f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______________.
2
(1，2)
[方法总结2]
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
1．需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
2．取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
【解析】　(1)由已知可得f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75,0.125)，所以零点在区间(0.093 75,0.125)上|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以在区间[0.093 75,0.125]内的值都符合题意．故选BCD.
(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2)．
2
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为__________________.
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
1.562 5
(2)由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5.
3.现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
题型三
二分法思想的实际应用
3
[方法总结3]
二分法的思想除了可以用来处理生活中的对称问题，还可以处理一些不对称问题．要注意二分法的思想与实际问题之间的联系及二分法思想的应用．
【解析】　先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放在天平的一端，取3个好球放在天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重.
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能.
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
3
某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1 000元，选手开始报价1 000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
【解析】 取价格区间[500,1 000]的中点750元，低了；就再取[750，1 000]的中点875,高了；就取[750,875]的中点,遇到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格.
随堂检测　重反馈
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( 　 )
【解析】　函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．故选B.
2．某同学用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程ln x＋2x－6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为( 　 )
A．0.1 B．0.01
C．0.001 D．0.000 1
3．下列图象表示的函数中没有零点的是( 　 )
【解析】　由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在体现在函数图象与x轴有无交点上．故选A．
4．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为__________.
【解析】　∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，∴f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内．又∵方程的解精确到0.1，∴可取方程近似解为1.4.
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
1.4第四章　4.5　4.5.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( 　 )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
【解析】　用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C．
2．利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是( 　 )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】　设f(x)＝log3x－3＋x，当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在区间(a，b)上有零点，即方程log3x＝3－x在区间(a，b)上有解，f(1)＝log31－3＋1＝－2<0，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33－3＋3＝1>0，f(4)＝log34－3＋4＝1＋log34>2>0，故f(2)·f(3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解．故选C．
3．函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是( 　 )
A．－3C．－3
【解析】　∵函数f(x)＝ax2－2x＋1在(－1,1)和(1,2)上分别存在一个零点，∴即解得4．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是( 　 )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．[－1,1]
【解析】　记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1,0)的左方，另一个在点(1,0)的右方，∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．故选A．
5．(多选)下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是( 　 )
A．y＝3x2－2x＋5
B．y＝
C．y＝＋1，x∈(－∞，0)
D．y＝x2＋4x＋8
【解析】　由y＝3x2－2x＋5，知此函数的判别式Δ<0，故函数y＝3x2－2x＋5无零点；由y＝x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值．故D错误．故选BC．
6．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是 (2)　.
x －1 0 1 2 3
f(x) －0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
(1)(－1,0)；(2)(0,1)；(3)(1,2)；(4)(2,3)．
【解析】　令F(x)＝f(x)－g(x)，F(－1)＝－0.147<0，F(0)＝－0.44<0，F(1)＝0.542>0，F(2)＝0.739>0，F(3)＝0.759>0，所以F(0)·F(1)<0，f(x)＝g(x)有实数解的区间是(2)．
7．函数f(x)＝的零点个数是 2　.
【解析】　当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋ln x，令2x－6＋ln x＝0，得ln x＝6－2x.作出函数y＝ln x与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象(图略)，则两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)只有一个零点．综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.
8.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测 6　次．
【解析】　第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.
9．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
【解析】　因为f(1.25)·f(1.375)<0，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
10．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828
【解析】　(1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，
f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在(1,2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
(1,2) 1.5 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5) 1.281 25 f(1.281 25)<0
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，
且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
B组·综合运用
11．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( 　 )
A． B．
C．ε D．2ε
【解析】　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过，故选B.
12．(多选)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法不正确的是( 　 )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
C．函数f(x)在区间内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点
【解析】　根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或中或零点是.故选ACD.
13．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是( 　 )
A．f(1) B．f(2)
C．f D．f(4)
【解析】　零点在(0,4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，零点在(0,2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0；零点在(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0；零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0.所以与f(0)符号相同的是f(1)．故选A．
14．已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
【解析】　作出y＝|3x－1|的图象，如右图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0综上所述，当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一解；当0C组·拓展提升
15．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 4　次就可以发现这枚假币．
【解析】　将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
16．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】　由题意得f(x)的图象是开口向上的抛物线，由a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点．所以f(x)的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内．故选A．
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