资源简介

第五章　5.1　5.1.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．下列各对角中，终边相同的是( 　 )
A.， B．－，
C.，－ D．－，－
【解析】　＝6π＋，＝10π－，终边不相同，A错误；π＝6π＋，其终边与－的终边不同，B错误；的终边在y轴的负半轴上，而－的终边在y轴的正半轴上，所以终边不相同，C错误；因为－＝－2π－，所以－和－的终边相同，D正确．
2．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为( 　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵<5<2π，∴α＝5 rad为第四象限角，其终边位于第四象限．故选D.
3．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( 　 )
A．－－8π B．π－8π
C.－10π D．π－10π
【解析】　∵－1 485°＝－5×360°＋315°，又2π rad＝360°，315°＝π rad.故－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π.故选D.
4.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( 　 )
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
【解析】　阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．故选D.
5．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( 　 )
A．tan 1 B．
C. D．
【解析】　如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOD＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝＝.∴扇形的面积S＝×2×＝.故选C.
6．将－1 360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为 －8π＋　.
【解析】　∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝，∴应填－8π＋.
7．若－π<α<π，2α与－的终边互相垂直，则α＝ －，－，，　.
【解析】　因为2α与－的终边互相垂直，所以2α＋＝＋2kπ或2α＋＝－＋2kπ(k∈Z)．因为－π<α<π，所以令k＝0,1，可得α＝－或或－或.
8.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为 　.
【解析】　连接AO，OB，因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.
9．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
【解析】　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为 .
(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为 .
(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为 .
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为 .
10．(1)把310°化成弧度；
(2)把 rad化成角度；
(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
【解析】　(1)310°＝ rad×310＝ rad.
(2) rad＝°
＝75°.
(3)方法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×＝，
θ＝105°＝105×＝.
显然<<1<.故α<β<γ<θ＝φ.
方法二(化为角度)：
β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×°＝105°.
显然，15°<18°<57.30°<105°.
故α<β<γ<θ＝φ.
B组·综合运用
11．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( 　 )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
【解析】　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D.
12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)( 　 )
A．6平方米 B．9平方米
C．12平方米 D．15平方米
【解析】　如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．故选B.
13.如图，以正方形ABCD中的点A为圆心、边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为 2－　.
【解析】　设AB＝1，∠EAD＝α，因为S扇形ADE＝S阴影BCD，则由题意可得×12×α＝12－，所以解得α＝2－.
14．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，
所以α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
所以弧长l＝α·r＝×10＝，
所以S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·r＝×10×5＝25，
所以S＝S扇形－S△AOB＝25.
C组·拓展提升
15．已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
【解析】　设扇形的半径为r，圆心角为θ，
则扇形的弧长为l＝rθ，
根据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，
所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，
故当r＝3时，S取得最大值，
此时l＝12－2×3＝6，
扇形的圆心角θ＝＝＝2.
16．在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．
【解析】　(1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝，R1＝2，
所以扇形的周长为C1＝2R1＋×R1＝2×2＋＝4＋.
由题图②所示的方案，可得∠MON＝，R2＝1，
所以扇形的周长为C2＝2R2＋×R2＝2×1＋＝2＋.
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|C1－C2|＝＝＝2－.
(2)题图①所示方案的扇形面积为S1＝α1R＝××22＝.
题图②所示方案的扇形面积为S2＝α2R＝××12＝.
所以两种方案中的扇形面积一样大．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
新课程标准解读 学科核心素养
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 数学抽象、数学运算
体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数的一一对应关系. 数学抽象
理解弧度制下弧长和扇形面积公式并能应用. 数学运算
5.1.2　弧度制
教材梳理　明要点
秦始皇在秦朝统一六国后，就下令统一了度量衡，规定了一斤等于十六两，那么半斤就是八两．在随后2 000多年里，一斤等于十六两的度量标准一直被沿用并传承下来．直到1959年6月25日，中华人民共和国国务院颁布《国务院关于统一我国计量制度的命令》后，才执行“一斤等于十两”的规定．
在度量角的大小时，除了用“度”来度量的角度制，还有用“弧度”来度量的弧度制．
?情境导入
知识点一　角度制与弧度制
1．度量角的两种制度
?新知初探
角度制 定义 用_______作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 以________作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于__________的圆弧所对的圆心角
度
弧度
半径长
2.弧度数的计算
知识点二　角度制与弧度制的换算
1．角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝_______ 2π rad＝_______
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝_______ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝_______≈57.30°
2π rad
360°
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
90°
180°
2π
知识点三　弧度制下的弧长公式与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝________.
(2)扇形面积公式：S＝________＝_________.
αR
[知识点反思]
在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系；一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的与半径大小无关．
1．下列命题中，假命题是( 　 )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.
252°
题型探究　提技能
1.将下列角度与弧度进行互化：
题型一
角度与弧度的换算及应用
１
１
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在的象限．
2.用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
题型二
用弧度制表示给定区域角的集合
2
[方法总结2]
关于用弧度表示角
1．弧度制下，与α终边相同的角的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，注意角度和弧度不能混用．
2．区域角的表示：注意边界角的取值，要满足从小到大逆时针方向扫过区域．
2
用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)，如图所示．
3.已知扇形的周长为8 cm.
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
题型三
弧长公式和扇形面积公式的应用
3
[方法总结3]
弧度制下扇形问题的解决方法
2．弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，根据变量的情况选择利用一元二次函数或基本不等式求最值．
3
随堂检测　重反馈
1．在不等圆中1 rad的圆心角所对的( 　 )
A．弦长相等 B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径
【解析】　根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D.
4．在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为_______cm.

展开更多......

收起↑