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第五章　5.1　5.1.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( 　 )
A．120° B．－120°
C．－60° D．60°
【解析】　由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°，故选B.
2．(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( 　 )
A．① B．②
C．③ D．④
【解析】　第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②480°＝120°＋360°，是第二象限角；③－960°＝120°－3×360°，是第二象限角；④1 530°＝90°＋4×360°，不是第二象限角．故选ABC.
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α终边所在的象限是( 　 )
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【解析】　由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限．综上，α终边所在的象限是第一或第三象限．故选A.
4.如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( 　 )
A．{α|－45°<α<120°}
B．{α|120°<α<315°}
C．{α|k·360°－45°<αD．{α|k·360°＋120°<α【解析】　在(－360°，360°)范围内，阴影部分表示为(－45°，120°)，故选C.
5．已知α为第三象限角，则所在的象限是( 　 )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【解析】　方法一：因为α终边在第三象限，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)，k为偶数时，在第二象限，k为奇数时，在第四象限．故选D.
方法二：如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故选D.
6.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝ －40°　.
【解析】　由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°.
7．－1 485°角是第 四　象限角，与其终边相同的角中最大的负角是 －45°　.
【解析】　因为－1 485°＝－5×360°＋315°，而315°∈(270°，360°)，所以－1 485°是第四象限角．又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.
8．终边在直线y＝x上的角的集合S＝ {β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}　.
【解析】　在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：30°、210°(如右图)，所以终边在y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}．
9．已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合．
【解析】　由题意知，7θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
即6θ＝k·360°，k∈Z，∴θ＝k·60°，k∈Z，
由0°<θ<360°，得0°∴0∴θ的集合为{60°，120°，180°，240°，300°}．
10．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
【解析】　(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
令－1 910°－k·360°≥0°，
解得k≤－＝－5.
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
B组·综合运用
11．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( 　 )
A．第一象限角的集合
B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合
D．第一或第四象限角的集合
【解析】　由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z.∴k·180°<α12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( 　 )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
【解析】　令k分别取－1,0,1,2，对应得到α的值为－126°，－36°，54°，144°.故选C.
13．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( 　 )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
【解析】　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A、C都不满足条件．故选BD.
14．与－500°角的终边相同的最小正角是 220°　，最大负角是 －140°　.
【解析】　与－500°角的终边相同的角可表示为α＝k·360°－500°(k∈Z)，当k＝2时α＝220°为最小正角，当k＝1时α＝－140°为最大负角．
C组·拓展提升
15.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈ {α|n·180°＋30°<α【解析】　在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α16．在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在区间(－360°，360°)内的角？
(3)写出其中的第三象限角．
【解析】　(1)由k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8个．
(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
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第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
新课程标准解读 学科核心素养
了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，了解象限角的概念. 数学抽象
理解并掌握终边相同的角的概念，会表示终边相同的角. 数学抽象、数学运算
5.1.1　任意角
教材梳理　明要点
北京时间3月4日，2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站在加拿大落下帷幕，中国跳水队在最后一个比赛日又有4金入账，最终收获9金1银2铜．在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围．
?情境导入
知识点一　任意角的概念
1．角的概念
角可以看成平面内______________绕着它的________旋转所成的图形．
?新知初探
一条射线
端点
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的_________位置OA；
(2)终边：射线的________位置OB；
(3)顶点：射线的端点O；
(4)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
起始
终止
3．角的分类
知识点二　角的加法与减法
设α，β是任意两个角：
1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
2．角的加法：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是____________.α＋β角的始边为α的始边，终边为β的终边．
3.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为_________，角α的相反角记为_______.
4．角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋(－β)．这样，角的减法可以转化为角的加法．
α＋β
相反角
－α
知识点三　象限角
如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_______ ___________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
S＝{β|β
＝α＋k·360°，k∈Z}
[知识点反思]
第一象限角不一定是锐角，如390°；相等的角的终边相同，终边相同的角不一定相等，可能相差360°；第二象限角不一定大于第一象限角，如第二象限角120°，第一象限角390°.
1．－215°是( 　 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．故选B.
?预习自测
2．下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是( 　 )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
【解析】　－1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．故选D.,
题型探究　提技能
1.(1)下列命题正确的是( 　 )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
(2)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( 　 )
A．150°　　　 B．－150°　　　
C．390°　　　 D．－390°
题型一
任意角的概念
１
[方法总结1]
判定角的类型的关键点：
1．弄清角的始边与终边；
2．旋转方向与旋转量；
3．正确区分象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
【解析】　(1)终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．故选C.
(2)各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°.故选B.
１
(1)(多选)下列说法，不正确的是( 　 )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°的角是钝角、直角或锐角
(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( 　 )
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°,
【解析】　(1)90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A错误，B正确；钝角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C错误；0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．故选ACD.
2.已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
题型二
终边相同的角
2
[方法总结2]
1．终边相同的角相差360°的整数倍，如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过连续加(减)360°的方式得到所要求的结果；
2．与角α终边相同的角，连同角α在内，构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，给整数k赋值，可得到需要的角．
【解析】　与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－1 845°＋k·360°，k∈Z}
(1)当k＝6时最小的正角为315°.
(2)当k＝5时，得到最大的负角为－45°.
(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
2
已知角α＝2 024°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<360°；
(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．
【解析】　(1)由2 024°除以360°，得商为5，余数为224°，
所以取k＝5，β＝224°，则α＝5×360°＋224°.
又β＝224°是第三象限角，所以α为第三象限角．
(2)与2 024°角终边相同的角为k·360°＋2 024°，k∈Z.
令－360°≤k·360°＋2 024°<360°，k∈Z，
所以k可取－6，－5，得角θ为－136°，224°.
(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－136°，最小正角是224°.
3.写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？
题型三
终边在一条直线上的角
3
[方法总结3]
表示终边在一条直线上的角的方法
1．终边在一条直线上的角的集合是由终边分别在以原点为端点，构成直线的两条射线上的角的集合的并集；
2．终边在一条直线上的角的差为k·180°，k∈Z，只需选取终边在这条直线上的一个角，再加上k·180°，k∈Z即可．
【解析】　直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，
故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
由于－360°<β<360°，即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z.
所以集合S中适合不等式－360°<β<360°的元素为135°－2×180°＝－225°；
135°－1×180°＝－45°；135°＋0×180°＝135°；
135°＋1×180°＝315°.
3
则S＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋120°，k2∈Z}
＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°－60°}
＝{α|α＝2k1·180°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°－60°}
＝{α|α＝n·180°－60°，n∈Z}．
(2)已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
题型四
象限角与区域角的表示
4
[方法总结4]
1．表示射线区域角的3个步骤：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
2．确定出射线区域角的边界对应角α，β后，再加上180°的整数倍即得直线区域角．
【解析】　(1)因为k·360°<α所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)．
所以2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角．
(2)终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
4
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________________________________________.
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
随堂检测　重反馈
1．－495°角的终边与下列哪个角的终边相同( 　 )
A．135° B．45°
C．225° D．－225°
【解析】　因为－495°＝－2×360°＋225°，所以与－495°角终边相同的是225°角．故选C.
2．角－870°的终边所在的象限是( 　 )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】　∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.
3．已知α是第二象限角，则180°－α是( 　 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】　由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．故选A.
4.已知，如图所示，则终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为_________________________________________________.
{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}
【解析】　终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．所以终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．

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