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(共31张PPT)
第五章　三角函数
5.3　诱导公式
新课程标准解读 学科核心素养
借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数诱导公式． 逻辑推理
能运用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题． 数学运算、逻辑推理
第1课时　诱导公式二、三、四
教材梳理　明要点
天津之眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美．三角函数与单位圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性，是以圆心为对称中心的中心对称图形，也是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
利用这种对称性，借助单位圆中不同角的终边与单位圆交点坐标的关系，探究终边具有特殊对称(坐标轴、原点)的两角的三角函数之间本质的规律．
?情境导入
知识点一　诱导公式
?新知初探
终边关系 图示 公式
公式二 角π＋α与角α的终边关于______对称
sin(π＋α)＝__________，
cos(π＋α)＝__________，
tan(π＋α)＝__________
原点
－sin α
－cos α
tan α
终边关系 图示 公式
公式三 角－α与角α的终边关于______轴对称 sin(－α)＝_________，
cos(－α)＝_________，
tan(－α)＝_________
x
－sin α
cos α
－tan α
终边关系 图示 公式
公式四 角π－α与角α的终边关于_____轴对称
sin(π－α)＝_________，
cos(π－α)＝_________，
tan(π－α)＝__________
y
sin α
－cos α
－tan α
知识点二　利用诱导公式求值的步骤
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)sin(α－π)＝sin α．( )
(4)sin(180°－200°)＝－sin 200°．( )
(5)若α，β满足α＋β＝π，则sin α＝sin β．( )
?预习自测
×
×
×
√
√
【解析】　(1)正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
(2)sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α．
(4)sin(180°－200°)＝sin 200°．
2．sin 585°＝________．
题型探究　提技能
1．求下列各三角函数值：
题型一
给角求值问题
１
[方法总结1]
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
1．“负化正”——用公式一或三来转化．
2．“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
3．“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
4．“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
１
2．化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
题型二
三角函数式的化简问题
2
[方法总结2]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
1．利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
2．对有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切；
2
题型三
给值求值问题
3
[方法总结3]
解决给值求值问题的策略
1．解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；
2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
3
随堂检测　重反馈
【答案】　C
3．如果α，β满足α＋β＝π，且使函数有意义，那么下列式子中正确的个数是( 　 )
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　由诱导公式四知①③⑤正确，故选C．第五章　5.3　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．cos 120°＝( 　 )
A. B．
C．－ D．－
【解析】　cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－，故选C.
2．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　原式＝sin230°＋sin245°－2sin 30°＋cos245°＝2＋2－2×＋2＝.故选A.
3．化简的结果为( 　 )
A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2
C．sin 2－cos 2 D．±(cos 2－sin 2)
【解析】　＝＝＝|sin 2－cos 2|.∵2弧度在第二象限，∴sin 2>0>cos 2，∴原式＝sin 2－cos 2.故选C.
4．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，∴cos 70°＝＝，∴tan 70°＝＝.故选B.
5．已知sin＝，则sin的值为( 　 )
A. B．－
C． D．－
【解析】　∵sin＝，∴sin＝sin＝sin＝.故选C.
6．若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为 －　.
【解析】　由题意知sin α＝，原式＝＝－＝－＝－.
7．已知α∈，tan(π－α)＝－，则sin α＝ 　.
【解析】　由于tan(π－α)＝－tanα＝－，则tan α＝，解方程组得sin α＝±，又α∈，所以sin α>0.所以sin α＝.
8．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝ －　.
【解析】　由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－＝－(α为第四象限角)．
9．已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
【解析】　(1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦函数的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·
＝＝，
由余弦函数的定义得cos α＝，
故原式＝.
10．若cos(α－π)＝－，求
的值．
【解析】　原式
＝
＝＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时sin α＝＝，
∴tan α＝＝，
∴原式＝－.
当α为第四象限角时
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
B组·综合运用
11．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值可以是( 　 )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】　当k＝2n，n∈Z时，A＝＋＝＋＝2，当k＝2n＋1，n∈Z时，A＝＋＝＋＝－2.故选AD.
12．设tan(5π＋α)＝m，则的值为( 　 )
A. B．
C．－1 D．1
【解析】　∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m，原式＝＝＝＝，故选A.
13．若＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)等于( 　 )
A. B．
C．± D．－
【解析】　由＝2，得tan α＝3.则sin(α－5π)·cos(3π－α)＝－sin(5π－α)·cos(2π＋π－α)＝－sin(π－α)·cos(π－α)＝－sin α·(－cos α)＝sin α·cos α＝＝＝.故选B.
14．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝ －1　.
【解析】　∵cos(180°－θ)＝－cos θ，∴cos θ＋cos(180°－θ)＝0，即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1.
C组·拓展提升
15．若cos＝，则cos＝ －　.
【解析】　cos＝cos＝－cos＝－.
16．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α＋π)＝，求f(α)的值．
【解析】　(1)f(α)＝
＝－cos α.
(2)∵sin(α＋π)＝－sin α，∴sin α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，∴f(α)＝.
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