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第五章　5.4　5.4.2　第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．y＝2sin x2的值域是( 　 )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
【解析】　∵x2≥0，∴sin x2∈[－1,1]，∴y＝2sin x2∈[－2,2]．故选A.
2．函数y＝4sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 　 )
A．0 B．－3
C．－2－ D．4－2
【解析】　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴sin∈，所以函数的值域为[－2，4]，故最大值与最小值之和为4－2，故选D.
3．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　画出y＝|sin x|的图象即可求解．故选C.
4．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( 　 )
A．[－1,1] B．
C. D．
【解析】　令sin x＝t，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，∴当t＝－时，f(t)min＝－；当t＝1时，f(t)max＝1.故选C.
5．三个数cos ，sin ，－cos 的大小关系是( 　 )
A．cos >sin >－cos
B．cos >－cos >sin
C．cos D．－cos 【解析】　sin ＝cos，－cos ＝cos.∵π>>－>π－>0，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，∴cos 6．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是 (－π，0]　.
【解析】　因为y＝cos x在[－π，0]上是单调递增，在[0，π]上是单调递减，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
7．已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 023)＝7，则f(－2 023)＝ －5　.
【解析】　由f(2 023)＝2 023a＋bsin 2 023＋1＝7，得2 023a＋bsin 2 023＝6，∴f(－2 023)＝－2 023a－bsin 2 023＋1＝－(2 023a＋bsin 2 023)＋1＝－6＋1＝－5.
8．函数值sin ，sin ，sin 从大到小的排列顺序为 sin >sin >sin 　.
【解析】　∵<<<<π，函数y＝sin x在上单调递减，∴sin >sin >sin .
9．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos 2x；
(2)y＝2sin.
【解析】　(1)函数y＝cos 2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos 2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为y＝－2sin.
∵y＝sin u(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)，
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
10．求函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
【解析】　y＝－sin2x＋sin x＋
＝－2＋2.
因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，
即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；
当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.
B组·综合运用
11．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝( 　 )
A．－ B．－
C． D．
【解析】　由函数f(x)在区间上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f(x)的图象的两条相邻对称轴，得＝2，解得ω＝2，则f＝sin ＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin，k∈Z，则f＝sin＝sin＝.故选D.
12．(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中错误的是( 　 )
A．f(x)在上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
【解析】　因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f(x)＝sin 2x在上是单调递减的，故A错误；因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．故选ACD.
13．(多选)已知函数f(x)＝3cos，则( 　 )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z
C．f(x)在上是增函数
D．f(x)的图象关于点对称
【解析】　因为f(x)＝3cos＝3cos，对于A，T＝＝π，故A不正确；对于B，f(x)的对称轴方程为2x－＝kπ，解得x＝＋kπ，k∈Z，故B正确；对于C，要求f(x)的单调增区间，则－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，所以单调增区间为，k∈Z，而不是，k∈Z的子集，故C不正确；对于D，f＝3cos＝3cos ＝0，所以f(x)的图象关于点对称，故D正确．故选BD.
14．y＝的定义域为 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z　，单调递增区间为 ，k∈Z　.
【解析】　∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增．∴其递增区间为：，k∈Z.
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝2ksin x＋3，若对任意x∈都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为 [－3,3]　.
【解析】　由x∈得sin x∈.当k≥0时，－k＋3≤2ksin x＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksin x＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．
16．已知函数y＝sin.
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
【解析】　y＝sin可化为
y＝－sin.
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为，.
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第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第2课时　正弦、余弦函数的单调性与最值
新课程标准解读 学科核心素养
掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，能利用单调性比较大小，并会求简单三角函数的值域和最值． 直观想象、逻辑推理
会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 直观想象、数学运算
教材梳理　明要点
函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，从左向右看，先单调递减，再单调递增，在x＝0时函数取到最小值0．那么正弦函数、余弦函数有怎样的单调性呢？
?情境导入
[提示]
可依据正弦函数、余弦函数的图象观察其单调性．
知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
?新知初探
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 ____________ __________
[－1,1]
[－1,1]　
函数 y＝sin x y＝cos x
单调性
在_______________________上 单调递增，在________________ _________上单调递减 在____________________上单调递增，在_____________ _______上单调递减
最值
x＝______________时，ymax＝1；
x＝______________时，ymin＝－1 x＝_____________时，ymax＝____；x＝________________ 时，ymin＝_______
k∈Z
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，
k∈Z
2kπ，k∈Z
1
π＋2kπ，k∈Z
－1
1．函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为____________________．
2．函数y＝2cos x在区间[－π，π]上的单调递增区间是__________．
【解析】　函数y＝2cos x在区间[－π，π]上的单调递增区间与y＝cos x的相同，为[－π，0]．
?预习自测
[－π，0]
题型探究　提技能
1．求下列函数的单调递减区间：
题型一
三角函数的单调区间
１
[方法总结1]
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，(1)要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；(2)在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．理论依据是复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
【分析】　(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
１
(k∈Z)
2．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
题型二
三角函数单调性的应用
2
2．不同名的函数化为同名的函数．
3．自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．
(3)sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°．
因为sin 16°>0，－sin 20°<0，所以－sin 20°即cos 110°2
(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( 　 )
A．sin αC．cos αcos β
(2)将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_______ ______________________________．
cos 150°
题型三
正弦函数、余弦函数在固定区间上求值域问题
3
[方法总结3]
三角函数最值问题的3种常见类型及求解方法
1．形如y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．
2．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．
3．形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
3
随堂检测　重反馈
1．下列关系式中正确的是( 　 )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°【解析】　cos10 °＝sin 80°，sin 168°＝sin 12°．sin 80°>sin 12°>sin 11°，即cos 10°>sin 168°>sin 11°．故选C．
4．函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域为_________．
【解析】　令t＝cos x，由于x∈R，故－1≤t≤1．y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值10；当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值2．所以该函数的值域是[2,10]．
[2,10]

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