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(共35张PPT)
第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
新课程标准解读 学科核心素养
了解利用单位圆作正弦函数图象的方法． 数学抽象、直观想象
会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象． 数学抽象、直观想象
会用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题． 数学运算、直观想象
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
教材梳理　明要点
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．
?情境导入
知识点一　正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫______________．
?新知初探
正弦曲线
知识点二　正弦函数图象的画法
1．几何法
(1)利用正弦线画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
(2)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
知识点三　余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
[知识点反思]
五点作图法中的五个点是函数图象的趋势转折点．
1．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( 　 )
【答案】　A
?预习自测
2．函数y＝cos x，x∈R图象的一条对称轴是( 　 )
A．x轴 B．y轴
【解析】　易知y＝cos x的图象关于y轴对称．故选B．,
题型探究　提技能
1．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
题型一
用“五点法”作三角函数的图象
１
[方法总结1]
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图时，还是依照sin x或cos x的关键点来确定新函数关键点的横坐标，再去求对应的纵坐标．
【解析】　(1)列表
描点，连线，如图1
(2)列表：
描点连线，如图2
１
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sin x；(2)y＝cos x－1．
【解析】　(1)按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．
(2)按五个关键点列表：
2．利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．
题型二
利用图象变换作三角函数的图象
2
[方法总结2]
1．平移变换
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的．
(2)函数y＝f(x)＋b的图象是由函数y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的．
2．对称变换
(1)函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其对称翻折到y轴左边得到．
(3)函数y＝－f (x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于x轴对称．
(4)函数y＝f (－x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于y轴对称．
(5)函数y＝－f (－x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于原点对称．
【解析】　(1)首先用五点法作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cos x关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图1所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图2所示．
2
题型三
利用正弦、余弦函数的图象解三角不等式
3
[方法总结3]
用三角函数图象解三角不等式的步骤
1．作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
2．写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
3．根据公式一写出定义域内的解集．
3
在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是_______．
【解析】　在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0,2π)与y＝cos x，x∈(0,2π)的图象如图所示，
随堂检测　重反馈
【答案】　A第五章　5.4　5.4.1
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是( 　 )
A．0，，，，π B．0，，π，，2π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
【解析】　利用五点法作图的要求可知，选B.
2．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是( 　 )
【解析】　利用代入特殊值法即可得出选B.
3．在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　由函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，可知≤x≤.故选B.
4．如图所示的曲线对应的函数解析式可以是下列选项中的( 　 )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
【解析】　将代入4个解析式，排除A，B；将代入C，D中的解析式，排除D，故选C.
5．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( 　 )
【解析】　y＝cos x＋|cos x|＝
故选D.
6．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点，则b＝ 4　.
【解析】　b＝f＝3＋2cos ＝4.
7．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是 　.
【解析】　由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
8．函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为
　.
【解析】　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示．
当－－成立，所以sin x>－的解集为.可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为.
9．利用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝2sin x－1(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1－cos x(0≤x≤2π)．
【解析】　(1)列表：
x 0 π 2π
2sin x 0 2 0 －2 0
2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1
描点作图，如图所示：
(2)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
描点作图，如图所示．
10．已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
【解析】　(1)作出函数
f(x)＝的图象，如图①所示．
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，
如图②所示，则当－π≤x<0时，由图象知x＝－，
当0≤x≤π时，x＝或x＝.
综上，可知x的值为－或或.
B组·综合运用
11．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( 　 )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移个单位长度，得g(x)的图象
【解析】　f(x)＝sin，g(x)＝cos＝cos＝sin x，f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象．故选D.
12．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是( 　 )
A. B．
C. D．∪
【解析】　在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和，故选AC.
13．(多选)若函数f(x)＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( 　 )
A．当x∈时，y<0
B．f(0)＝1
C．f＝0
D．阴影部分的面积为2π
【解析】　作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如右图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴D错误．故选AC.
14．方程sin x＝的根的个数是 7　个．
【解析】　在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如下图所示：
根据图象可知方程有7个根．
C组·拓展提升
15．已知函数f(x)＝cos x＋2|cos x|，x∈[0,2π]，若直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是 (0,1)　.
【解析】　函数f(x)＝cos x＋2|cos x|
＝如图：
结合图象可得，当k∈(0,1)时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有四个不同的交点．
16．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
【解析】　首先作出y＝sin x，x∈的图象，
然后再作出y＝的图象，
如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin x，x∈，y2＝.
y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤<1，即－1即方程sin x＝在x∈上有两个实根．
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