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第五章　三角函数
5.5　三角恒等变换
新课程标准解读 学科核心素养
了解两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义． 数学抽象、逻辑推理
能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 逻辑推理、数学运算
能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化简等问题． 数学运算
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
教材梳理　明要点
我们已经知道一些特殊角的三角函数值(如下表)
那么15°的余弦值是多少呢？
?情境导入
[提示]
15°＝45°－30°＝60°－45°，利用两角差的余弦公式可求得．
知识点　两角差的余弦公式
?新知初探
公式 cos(α－β)＝__________________________
简记 C(α－β)
适用条件 α，β都是任意角
cos α cos β＋sin αsin β
?预习自测
题型探究　提技能
1．(1)求值：cos 15°＝____________．
(2)求值：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝______．
(3)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．
题型一
给角求值
１
[方法总结1]
两角差的余弦公式的两种用法
1．正用：把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解；
2．逆用：充分利用诱导公式，将原式转化，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
１
求下列各式的值．
(1)cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°；
题型二
给值求值
2
[方法总结2]
1．解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．
2
题型三
给值求角
3
[方法总结3]
已知三角函数值求角的解题步骤
1．根据条件确定所求角的范围；
2．求出所求角的某种三角函数值；
3．结合三角函数值及角的范围求角．
3
随堂检测　重反馈第五章　5.5　5.5.1　第1课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．cos(－75°)的值( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　cos(－75°)＝cos 75°＝cos(120°－45°)＝cos 120°·cos 45°＋sin 120°sin 45°＝.故选C.
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( 　 )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
【解析】　由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，检验知选B.
3．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( 　 )
A．－ B．
C. D．
【解析】　∵sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，可解得：sin θ＝，cos θ＝－＝－，又∵sin＝－，φ是第三象限角，cos φ＝－，sin φ＝－＝－，∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.故选B.
4．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cos α＝( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，∴cos(30°＋α)＝－，又cos α＝cos [(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos 30°＋sin(30°＋α)sin 30°＝－×＋×＝.故选A.
5．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝( 　 )
A．－ B．－
C． D．
【解析】　因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝2，①；因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝2，②；①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋，所以－2cos(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.故选D.
6．计算：sin 60°＋cos 60°＝ 　.
【解析】　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)＝.
7．已知sin＝，α∈，则cos α的值为 　.
【解析】　∵sin＝，α∈，∴＋α∈，cos＝－.∴cos α＝cos＝cos·cos ＋sinsin ＝－×＋×＝.
8．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝ 　.
【解析】　原式＝cos [(61°＋2α)－(31°＋2α)]＝cos 30°＝.
9．已知cos 2α＝－，sin(α＋β)＝－，α∈，β∈，求α－β的值．
【解析】　因为α∈，所以2α∈[0，π]，
所以sin 2α＝＝＝，
因为α∈，β∈，
所以α＋β∈，
所以cos(α＋β)＝
＝＝，
又由α－β＝2α－(α＋β)知
cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×
＝－
又因为α－β∈[0，π]，所以α－β＝.
10．已知角α的终边过点P(－4,3)．
(1)求的值；
(2)若β为第三象限角，且tan β＝，求cos(α－β)的值．
【解析】　(1)因为角α的终边过点P(－4,3)．
所以sin α＝，cos α＝－，
所以
＝＝＝－.
(2)因为β为第三象限角，且tan β＝，
所以sin β＝－，cos β＝－.
由(1)，知sin α＝，cos α＝－.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝0.
B组·综合运用
11．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( 　 )
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝ D．β－α＝－
【解析】　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选AC.
12．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<，因为sin α＝，sin(α－β)＝－，所以cos α＝，cos(α－β)＝，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，所以β＝.故选C.
13.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形与大正方形面积之比为4∶9，且直角三角形的两锐角分别为α，β，则cos(α－β)的值为( 　 )
A. B．
C． D．0
【解析】　设大正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为，所以有sin α－cos α＝，①；cos β－sin β＝，②；由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得＝sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＋cos αsin β＝cos2β－(cos αcos β＋sin αsin β)＋sin2β＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝.故选A.
14．已知cos＋sin α＝，则cos的值是 　.
【解析】　cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，cos α＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝.
C组·拓展提升
15．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，则cos(α＋β)＝ －　，α＋β＝ 　.
【解析】　∵α，β均为锐角且α＜β，∴－＜α－β＜0，又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
16．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，求α＋β的值．
【解析】　因为<α<，<β<，
所以－<－α<0，<＋β<π.
所以cos＝＝，
cos＝－＝－，
所以cos(α＋β)＝cos
＝cos·cos＋sinsin
＝×＋×＝－.
又因为<α＋β<π，所以α＋β＝π.
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