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(共31张PPT)
第五章　三角函数
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式
教材梳理　明要点
有人描述电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想到达想象中任何角落的工具，并且功能多样，它用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．
类比于上节我们学习的两角差的余弦公式，你能得出两角和与差的正弦、余弦公式吗？
?情境导入
[提示]
通过诱导公式转化，把两角和与差的正弦、余弦问题转化为两角差的余弦来解决．
知识点一　两角和的余弦公式
?新知初探
公式 简记符号 使用条件
cos(α＋β)＝_____________ ________________ C(α＋β) α，β是任意角
cos αcos β－
sin αsin β　
知识点二　两角和与差的正弦公式
公式 简记符号 使用条件
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β __________ α，β∈R
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ____________ α，β∈R
S(α＋β)　
S(α－β)　
1．sin 75°＝__________．
2．sin 70°sin 65°－sin 20°sin 25°＝_______．
?预习自测
题型探究　提技能
1．求值：
(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝________；
(2)sin 15°＋sin 75°＝_______；
题型一
给角求值
１
－2
[方法总结1]
探究解决给角求值问题的策略
1．对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
2．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
１
求下列各式的值：
(1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；
题型二
给值求值
2
0
[方法总结2]
1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2
题型三
给值求角
3
[方法总结3]
给值求角问题的解题步骤：
1．确定角所在的范围；
2．求角的某一个三角函数值；
3．根据角的取值范围写出所求的角．
3
随堂检测　重反馈第五章　5.5　5.5.1　第2课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．化简sin＋sin＝( 　 )
A．－sin x B．sin x
C．－cos x D．cos x
【解析】　sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x．故选B.
2.cos －sin 的值是( 　 )
A．0 B．
C．－ D．2
【解析】　cos －sin ＝2＝2＝2sin＝2sin ＝.故选B.
3．(多选)cos α－sin α化简的结果可以是( 　 )
A.cos B．2cos
C.sin D．2sin
【解析】　cos α－sin α＝2＝2＝2cos.cos α－sin α＝2＝2＝2sin.故选BD.
4．在△ABC中，若sin Asin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】　∵sin Asin B0，∴cos(A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．故选D.
5．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cos α＝得sin α＝，由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝＝，∴β＝.故选C.
6．已知α是锐角，sin α＝，则cos等于 　.
【解析】　易知cos α＝，故cos＝cos cos α－sin sin α＝＝.
7．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝ －　.
【解析】　由题意可知
①2＋②2得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
8．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C等于 30°　.
【解析】　已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝37，即25＋24sin(A＋B)＝37，∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sin A＋4cos B＜3sin 30°＋4cos 0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.
9．化简求值：
(1)cos 44°sin 14°－sin 44°cos 14°；
(2)sin(54°－x)cos (36°＋x)＋cos(54°－x)·sin(36°＋x)．
【解析】　(1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]
＝sin 90°＝1.
10．已知cos α＝－，<α<π，求cos，cos的值．
【解析】　∵cos α＝－，且<α<π，
∴sin α＝＝，
∴cos＝cos cos α＋sin sin α
＝×＋×＝，
cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝－.
B组·综合运用
11．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( 　 )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解析】　由sin A＝2sin Ccos B可知sin[π－(B＋C)]＝2sin Ccos B，∴sin(B＋C)＝2sin Ccos B，∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，∴sin(B－C)＝0，即B＝C.故选C.
12．若sin θ－cos θ＝，则cos＝( 　 )
A．－ B．
C． D．－
【解析】　因为sin θ－cos θ＝，所以sin θ－cos θ＝，所以sin θcos －cos θsin ＝sin＝，所以cos＝sin＝－sin＝－.故选A.
13．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
【解析】　因为cos＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos(α－β)＝－3m，故选A.
14．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为 1　，最小值为 －1　.
【解析】　因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－sin φcos(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为－1.
C组·拓展提升
15．已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos＝ －　，cos＝ 　.
【解析】　∵sin＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α＝＝cos＝－，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝－cos＝－cos＝.
16．已知cos αcos β＋sin αsin β＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－，求sin α的值．
【解析】　(1)∵cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝，
∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
∴sin(α－β)＝.
(2)又sin β＝－，∴cos β＝，
由(1)得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
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