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(共32张PPT)
第五章　三角函数
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3课时　两角和与差的正切公式
教材梳理　明要点
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
如何求tan (α＋β)和tan (α－β)呢？
?情境导入
知识点　两角和与差的正切公式
?新知初探
[知识点反思]
公式变形应用
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
?预习自测
题型探究　提技能
1．(1)tan 255°＝( 　 )
题型一
给角求值
１
1
[方法总结1]
公式T(α＋β)，T(α－β)应用的解题策略
1．公式T(α＋β)，T(α－β)有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))，三者知二可求出第三个．
１
题型二
给值求值
2
[方法总结2]
给值求值问题的2种变换
1．式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值．
2．角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
2
题型三
给值求角
3
[方法总结3]
给值求角问题的步骤及选取函数的原则
1．给值求角问题的步骤
(1)求所求角的某个三角函数值．
(2)确定所求角的范围(范围过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
2．选取函数的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
3
已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
随堂检测　重反馈第五章　5.5　5.5.1　第3课时
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1．已知＝2，则tan的值是( 　 )
A．2 B．－2
C． D．－
【解析】　由＝2，得tan＝＝.故选C.
2．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C. D．1－
【解析】　因为＝，所以＝ tan α＝1－，所以tan＝＝2－1，故选B.
3．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( 　 )
A. B．－
C．7 D．
【解析】　易知tan α＝－.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝＝7.故选C.
4．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是( 　 )
A．－ B．
C． D．－
【解析】　由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，∴C＝，cos C＝.故选B.
5．已知tan α、tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( 　 )
A. B．－
C.或－ D．－或
【解析】　由韦达定理得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝＝＝，又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.故选B.
6．tan 70°＋tan 50°－tan 50°tan 70°＝ －　.
【解析】　∵tan 70°＋tan 50°＝tan 120°(1－tan 50°·tan 70°)＝－＋tan 50°·tan 70°，∴原式＝－＋tan 50°·tan 70°－tan 50°·tan 70°＝－.
7．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为 －2　.
【解析】　因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，tan(α＋β)＝＝＝－2.
8．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为 　.
【解析】　tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
9．已知sin α＝－且α是第三象限角，求tan的值．
【解析】　∵sin α＝－且α是第三象限角，∴cos α＝－＝－＝－.∴tan α＝＝3.∴tan＝＝＝.
10．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；
(2)tan(α＋β)．
【解析】　(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
B组·综合运用
11．已知α∈，tan＝－3，则sin α＝( 　 )
A. B．－
C． D．±
【解析】　tan α＝tan＝＝－，∵α∈，∴α∈，∴sin α＝＝，故选A.
12．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是( 　 )
A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
【解析】　∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝＝，∴A，B都错；∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，∴tan A·tan B＝，①；又tan A＋tan B＝，②；由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确，故选CD.
13．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于( 　 )
A．－ B．
C．－ D．3
【解析】　∵(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，∴tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2.①；∵tan(α＋β)＝＝，∴3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)，②；将②代入①得＝tan α－2，∴tan α＝＋2＝3.故选D.
14．已知tan＝，tan＝－，则tan ＝ 　.
【解析】　tan ＝tan＝＝.
C组·拓展提升
15．在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝ 　.
【解析】　∵sin Acos B＝3sin Bcos A，∴tan A＝3tan B，又B＝A－，∴tan B＝tan＝，即tan B＝，∴3tan2B－2tan B＋1＝0，∴tan B＝，又B为三角形的内角，∴B＝.
16．已知tan α，tan β都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．
【解析】　由题意得
解得m≤且m≠0.
且tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－m.
又m≤且m≠0，
∴tan(α＋β)的最小值为－＝－.
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