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第五章　5.5　5.5.2
课时跟踪检测
A组·基础巩固
1.的值等于( 　 )
A．sin 40° B．cos 40°
C．cos 130° D．±cos 50°
【解析】　＝＝＝|cos 130°|＝－cos 130°＝sin 40°，故选A.
2．(多选)下列各式与tan α相等的是( 　 )
A. B．
C. D．
【解析】　tan α＝±＝＝，故选BD.
3．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( 　 )
A. B．
C． D．
【解析】　由＋＝4，得＝4，所以＝4，sin 2θ＝.故选D.
4．设3π<α<4π，cos ＝m，那么cos 等于( 　 )
A. B．－
C．－ D．
【解析】　由于cos ＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos <0.所以cos ＝－.故选B.
5．函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是( 　 )
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
【解析】　因为函数f(x)＝sin ＋cos ＝＝＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.故选C.
6．已知sin θ＝－，3π<θ<，则tan ＝ －3　.
【解析】　根据角θ的范围，求出cos θ后代入公式计算，即由sin θ＝－，3π<θ<，得cos θ＝－，从而tan ＝＝＝－3.
7．已知cos 2α＝，且<α<π，则tan α＝ －　.
【解析】　∵<α<π，∴tan α＝－＝－.
8．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是_2__.
【解析】　f(x)＝sin x－cos x＝2sin，当x∈[0，π]时，x－∈，当x－＝时，即x＝时，f(x)max＝2.故答案为2.
9．证明：＝tan x.
【证明】　∵左边＝
＝
＝·
＝＝tan x＝右边，∴原式成立．
10．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值．
【解析】　因为α为钝角，β为锐角，
sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝.
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
因为<α<π，且0<β<，
所以0<α－β<π，即0<<，
所以cos ＝＝＝.
方法一：由0<<，
得sin ＝＝，
所以tan ＝＝.
方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得
sin(α－β)＝＝.
所以tan ＝＝＝.
B组·综合运用
11.＝( 　 )
A．－ B．
C．－2 D．2
【解析】　由题意得＝＝2×＝－2.故选C.
12．若<θ<π，则－＝( 　 )
A．2sin －cos B．cos －2sin
C．cos D．－cos
【解析】　∵<θ<π，∴<<，∴sin >cos >0.∵1－sin θ＝sin2＋cos2－2sin cos ＝2，(1－cos θ)＝sin2，∴－＝－＝－sin ＝－cos .故选D.
13．(多选)设函数f(x)＝，则下列说法中正确的是( 　 )
A．f(x)＝f(x＋π) B．f(x)的最大值为
C．f(x)关于点(0,0)对称 D．f(x)无最小值
【解析】　∵f(x)＝＝，∴f(x＋π)＝＝＝f(x)，故A正确；设y＝，则sin 2x－2ycos 2x＝4y，所以sin(2x－φ)＝4y，即sin(2x－φ)＝.由－1≤≤1可知－≤y≤，故B正确，D错误；又f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，其关于点(0,0)对称，故C正确．故选ABC.
14．已知tan ＝，则cos α＝ 　.
【解析】　∵tan ＝±，∴tan2＝.∴＝，解得cos α＝.
C组·拓展提升
15．设0<θ<，且sin ＝，则tan θ等于 　.
【解析】　∵0<θ<，sin ＝，∴cos ＝＝.∴tan ＝＝，tan θ＝＝＝·(x＋1)＝.
16．已知函数f(x)＝sin－2cos2＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值，并求出取得最小值时x的值．
【解析】　(1)因为f(x)＝sin－2cos2＋1＝sin cos －cos sin －cos
＝sin －cos ＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝4π.
由＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)因为x∈，－∈，
所以当－＝－，即x＝时，
f(x)min＝f＝sin＝－，
所以函数f(x)在区间上的最小值为－，此时x＝.
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第五章　三角函数
5.5　三角恒等变换
新课程标准解读 学科核心素养
能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式，体会其中三角恒等变换的基本思想． 逻辑推理
能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明． 数学运算、逻辑推理
5.5.2　简单的三角恒等变换
教材梳理　明要点
?情境导入
[提示]
利用二倍角公式可整理出半角公式．
?新知初探
[知识点反思]
辅助角公式其实质是两角和或两角差公式的逆用，可以化为正弦，也可以化为余弦．
?预习自测
题型探究　提技能
题型一
应用半角公式求值
１
[方法总结1]
(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；
(2)代入半角公式计算即可．
１
题型二
三角恒等式的化简与证明
2
[方法总结2]
化简问题中的“三变”
1．变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
2．变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
3．变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2
题型三
利用辅助角公式研究函数性质
3
[方法总结3]
应用辅助角公式将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式时，可以化为正弦，也可以化为余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
3
题型四
三角函数在实际问题中的应用
4
[方法总结4]
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1．方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
2．注意：在求解过程中，要注意三点：
(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系．
(2)注意实际问题中变量的范围．
(3)重视三角函数有界性的影响．
【解析】　如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，
4
如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
【解析】　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R(sin α＋cos α)＋R
随堂检测　重反馈
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
3．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为_____．
π

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