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2024-2025学年第二学期浙江省杭州市七年级期末数学模拟训练试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1． 若分式的值为0，则x的值为 （ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
“天链” 卫星是中国的跟踪与数据中继卫星， 2025年3月26日天链二号04星发射升空，
在地球同步轨道飞行约需要秒．数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
某校为了了解七年级12个班级学生（每班40人），课后作业用时情况，开展了一次抽样调查，
那么选择下面哪个样本更合适（　　 ）
A．以七年级每一名学生作为样本 B．以七年级每一名男生作为样本
C．以七年级每一名女生作为样本 D．每班各抽取5名男生和5名女生作为样本
下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5． 若是二元一次方程 的一个解，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6． 如果分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．
如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：
“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”
设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，
当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
A． B． C． D．
在小学段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，
例如，类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，
并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，
若分式可以拆分成的形式，那么（ ）
A．49 B． C．9 D．
如图，，为上一点，，且平分，
过点作于点，且，则下列结论：
①；② ；③平分；④平分．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算： ．
12. 某校用简单随机抽样的方法调查了学生最喜爱的四种球类运动，
根据统计结果绘制成扇形统计图（如图），若样本中最喜欢乒乓球的有30人，
则最喜欢篮球的有 人．
如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，
当栏杆达到最高高度时，横栏，此时 °．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
已知关于的二元一次方程组的解为，
小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
三、解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算或化简：
(1)；
(2)．
18．解方程（组）：
(1)；
(2)．
先化简：，
再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．
为增强学生安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛，
从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级
（A：；B：；C：；D：），
并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，并补全频数分布直方图；
扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
21.如图，在四边形中， ，．
（1）与平行吗？说明理由；
（2）若平分，，求的度数．
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，
现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，
请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
直接写出下列问题答案：
① 若，，则________；
② 若，则________．
(4) 如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，
设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，
低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，
今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，
计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：
3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：
①每次所加的油量固定；
②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，则 　 　．
A．按方式①加油更划算；
B．按方式②加油更划算；
C．两种加油方式一样划算；
D．无法比较哪种加油方式更划算．
（2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），
请你通过计算写出所有购买方案．
824．（1）【问题】
如图1，若，，．求的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，
用含有α的式子表示∠G的度数．
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2024-2025学年第二学期浙江省杭州市七年级期末数学模拟训练试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1．若分式的值为0，则x的值为 （ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
【答案】C
【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣2＝0，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：x﹣2＝0，且x+1≠0，
解得：x＝2，
故选C．
“天链” 卫星是中国的跟踪与数据中继卫星， 2025年3月26日天链二号04星发射升空，
在地球同步轨道飞行约需要秒．数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
某校为了了解七年级12个班级学生（每班40人），课后作业用时情况，开展了一次抽样调查，
那么选择下面哪个样本更合适（　　 ）
A．以七年级每一名学生作为样本 B．以七年级每一名男生作为样本
C．以七年级每一名女生作为样本 D．每班各抽取5名男生和5名女生作为样本
【答案】D
【分析】本意考查了抽样调查的可靠性，注意样本容量太小不具代表性，样本容量太大费时费力．根据抽样调查的样本容量要适当，可得答案．
【详解】解：A、样本容量太大，费时费力，故不可取，不符合题意；
B、样本不具有代表性，故不可取，不符合题意；
C、样本不具有代表性，故不可取，不符合题意；
D 、样本容量适中，省时省力又具代表性，故符合题意；
故选：D．
下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解；
根据提取公因式法，公式法以及十字相乘法逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，原式错误；
C.，原式正确；
D.不能进行因式分解；
故选：C．
5．若是二元一次方程 的一个解，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出a的值即可．
【详解】解：∵是二元一次方程 的一个解，
∴，
∴，
故选：C．
6． 如果分式中的，都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A
《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．
如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：
“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”
设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，即可得出关于x，y的二元一次方程．
【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺，
；
∵将绳对折再量木，木剩余1尺，
，
∴根据题意可列方程组，
故选；D．
将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，
当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设图中小长方形的长为x，宽为y，结合两块阴影部分 的面积相等，可得，再进一步求解即可；
【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分 的面积相等，
根据题意得：，即．
故选：A．
在小学段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，
例如，类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，
并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，
若分式可以拆分成的形式，那么（ ）
A．49 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的加减法，解二元一次方程组，负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，把通分后根据题意列出关于A、B的方程组，求出，然后代入计算即可．
【详解】
＝
=
= ，
∵ ，
∴
则 ，
解得： ，
所以．
故选D．
如图，，为上一点，，且平分，
过点作于点，且，则下列结论：
①；② ；③平分；④平分．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】延长交于点I，根据角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质即可解答．
此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
【详解】解：延长交于点I，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
故①正确；
∴，
故②正确；
∵，
∴，
无法判定，
故③错误；
∵，
∴，
无法判定，
故④错误,
故选：B．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．逆用积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 某校用简单随机抽样的方法调查了学生最喜爱的四种球类运动，
根据统计结果绘制成扇形统计图（如图），若样本中最喜欢乒乓球的有30人，
则最喜欢篮球的有 人．
【答案】24
【分析】本题考查了从扇形统计图中获取信息，由扇形统计图得最喜欢乒乓球的有30人占，可求出调查学生的总人数，然后用总人数乘以最喜欢篮球所占百分比即可．
【详解】解∶，
∴最喜欢篮球的有24人．
故答案为∶24．
如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，
当栏杆达到最高高度时，横栏，此时 °．
【答案】270
【分析】过点B作，根据平行线的性质可得，根据得出，则，最后根据即可求解．
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：270．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的增根问题；
先把分式方程转化为整式方程，再确定增根的值，然后把增根代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：方程的两边同乘以得：，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即增根为，
把代入得：，
故答案为：2．
先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
已知关于的二元一次方程组的解为，
小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，
，
∴由得，，
∵小强看错了系数得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案为：11．
三、解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算或化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先计算零次幂、负整数指数幂和乘方，再计算乘除，最后计算加减；
（）先运用平方差公式和完全平方公式进行整式乘法运算，再合并同类项；
本题考查了实数的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
．
18．解方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)原方程无解．
【分析】本题考查解二元一次方程组及分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
先化简：，
再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且且，
∴当时，原式．
为增强学生安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛，
从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级
（A：；B：；C：；D：），
并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，并补全频数分布直方图；
扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)，，补图见解析
(2)
(3)人
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用频数分布直方图中等级的人数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用等级的人数除以的值再乘以可得，即可得的值，求出组的人数，补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案；
（3）根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案．
【详解】（1）解：（1）由等级人数为，占抽取总人数百分比为，
得抽取总人数为，
∴等级占抽取总人数百分比为，
∴，
组的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：，；
（2）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）（人），
∴估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数约人．
21.如图，在四边形中， ，．
（1）与平行吗？说明理由；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
平分，
，
，
．
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，
现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．
用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；
用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，
请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
(3)直接写出下列问题答案：
① 若，，则________；
② 若，则________．
(4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，
设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②13
(4)
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
（1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；
（2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（3）①利用，代入求值即可，②利用代入求值即可；
（4），，，，可以利用代入求值即可．
【详解】（1）解：图1中，由图可知，
，
由题意得，，
即，
故答案为：．
（2）图2中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
（3）解：①由图2可得，
，，
，
．
故答案为：．
②由图1可得，
，
，
原式．
故答案为：13．
（4）解：由题意得，
，
，
，
，
，
，
∴．
即图中阴影部分的面积为．
一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，
低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，
今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，
计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：
3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：
①每次所加的油量固定；
②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，则 　 　．
A．按方式①加油更划算；
B．按方式②加油更划算；
C．两种加油方式一样划算；
D．无法比较哪种加油方式更划算．
（2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），
请你通过计算写出所有购买方案．
【分析】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（a≠b），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，求出①中平均单价为m和n，再比较m、n的大小即可；
（2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（a≠b），
记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，
则①中平均单价为m＝＝（元），
②中平均单价为n＝＝（元），
∵当a≠b时，（a+b）2＞4ab，且a，b均为正数，
∴＜，
即n＜m，
∴方式②平均油价更低．
故选：B．
（2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
由题意得：25m+15n＝250，
整理得：m＝10﹣n，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：
①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；
②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；
③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆．
824．（1）【问题】
如图1，若，，．求的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，
用含有α的式子表示∠G的度数．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解；
（3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点P作，
，，
CD∥PQ．
，
又，
，
；
（2），
理由：如图2，过P点作，则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点G作的平行线．
，，
，
，∠HGF=∠CFG，
又的平分线和的平分线交于点G，
，，
由（2）得，，
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/29 22:13:30；用户：新民学校；邮箱：xsqxmxx@；学号：44459633
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