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2024-2025学年八年级数学下册期末测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，平分交于中点，点在边上，且，若，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．某校举行党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．方差是0 B．中位数是95分 C．众数是5人 D．平均数是90分
6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C． D．
7．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A． B． C． D．
9．正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而成，其中，则矩形的一组邻边之比为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
12．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ．
13．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分．
14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是 ．
15．如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，点落在点位置．已知：，则当点恰好落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
16．如图，正方形的边长为6，为边上一点，为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向左侧作等腰直角三角形，且使，则点运动的路径长是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
19．（8分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 3 3．5 1．05
乙商家 4 1．24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________，
(2)表格中__________，__________，__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标；
(3)观察图象，不等式组的解集是_______．
21．（10分）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了．
(1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？
(2)这块绿化用地的面积是多少？
22．（10分）【问题探究】
（1）如图1，在中，连接，．
①求证：是矩形；
②若，探究线段与线段之间的数量关系．
【问题解决】
（2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，是从入口通往三个观光点的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点无法直接到达观光点，为方便旅客顺利、便捷地从观光点到达观光点（观光点分别在上），现要在上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/，桥梁的造价为100万元/，求建好和两座桥梁所需要的总造价．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28．
(1)分别求点A、B、C的坐标．
(2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知：如图1，正方形中，，点是对角线所在直线上一动点，连接，将沿折叠，得到，点的对应点为点，射线交直线于点，交边所在直线于点．
(1)①求证：；
②求证：；
(2)将沿折叠，得到，点的对应点为点．
①如图2，当点在对角线上，且时，求的度数：
②如图3，当点在延长线上，且时，连接，判断的形状，并说明理由；
③当点在同一直线上时，请直接写出以点为顶点的四边形面积．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由点A的坐标为，得到 ，过P作轴于B，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
过P作轴于B，
设，
，，
，
，
，
故选：A．
3．A
【分析】如图，设交于点，取的中点，连接，证明，推出，再证明即可．
【详解】解：如图，设交于点，取的中点，连接，
，，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
4．A
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．由两直线的解析式变形得到直线和直线交于点，结合图象即可判断．
【详解】解：∵，，
当时，，，
∴直线和直线交于点，
如图，当，时，直线在直线的上方，
则，故A选项正确，C选项错误；
如图，当时，
则时，，B选项错误；
则时，，D选项错误；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查条形统计图，中位数，众数，平均数，方差．根据条形统计图的数据对各项逐项进行计算即可．
【详解】解：根据条形统计图，将这10个数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，
则中位数为，
95出现了5次，最多，众数为95，
平均数为，
方差为，
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
6．D
【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而求得的度数，由是等边三角形，求出的度数，又由，求得的长即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等边三角形，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为，
∴，
又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，
∴，
设这个正比例函数的表达式为，
将点代入得：，
解得，
则这个正比例函数的表达式为，
故选：A．
8．B
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B

9．B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点，，，…在直线上和正方形性质，推出点，，，的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为的坐标为，利用规律表示出的坐标，即可解题．
【详解】解：由题知，四边形为正方形，
轴，即、的纵坐标相同，
当时，，即，
，则，
当时，，
的坐标为，
同理可得的坐标为，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
点的纵坐标是，
故选：B．
10．A
【分析】连接，，在取点P，使，连接，根据轴对称的性质得出，，，证明，，，设，，则，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，求出x，即可得出，求出，，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，，在取点P，使，连接，如图所示：
根据轴对称可知：，，，，
∵矩形中，
∴，
∵三个全等菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴，，
∴，
故选：A．
二．填空题
11．
【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：连接，
根据勾股定理可以得到：，，
∵，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
故答案为：．
13．86
【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数的权分别为，则叫做这n个数的加权平均数．
根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案．
【详解】解：（分），
故答案为：86．
14．
【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对称性可得为的中点，根据中点坐标公式求出，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：连接交于P，
∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，
∴直线经过平行四边形的中心，
∴为的中点，
∵，，
∴，即，
设直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图1，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接，
∵垂直平分，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
如图2，取、的中点、，则直线是矩形的对称轴，当点恰好落在上时，连接，
∵矩形，，
∴，，
∵、的中点、，
∴，四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
∵中，，，，，
∴，
解得，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过G作于H，在取点P，使，，得出，，进而得出，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，同理可证，，，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解∶过G作于H，在取点P，使，
∵，在正方形中，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点G在以为顶点，在的左侧，与成的直线上运动，
当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作于O，
同理可证，，
∴，
∴，
即点运动的路径长是，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
；
（2）
．
18．（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴ 6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
19．（1）解：由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值，
，
故答案为：，；
（2）解：从乙商家抽取了个评价分值，
甲商家分的评价分值个数为个，
乙商家分的评价分值个数为个，
∵甲商家共有个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数，
∴，
乙商家分的个数是9个，最多，
∴众数，
乙商家平均数，
故答案为：，，；
（3）解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
20．（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
，
，
即点坐标为，
∵一次函数经过、点，
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：当，则，
∴，
设，且的面积为6，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：由图象可得不等式组的解集为：．
21．（1）解：连接，
，，，
，
答：这条小路的最短长度是；
（2）解：∵，，
，
，
，
答：这块绿化用地的面积是．
22．（1）①证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
②解：，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
由上知，
∴，
在中，，
∴同上可得，
∴，
∴，
∴，
∴总造价为：（万元）．
23．（1）解：∵直线与轴交于点A与轴交于点B
∴把代入解析式得：，
∴，
把代入解析式得：，
∴，
∴
∵
即，而，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵当点刚好运动到的中点时，
∴，，
∴
设直线解析式为，
把，分别代入解析式得：
，解得：，
∴直线解析式为．
（3）解：存在．
①如图，当为平行四边形的对角线时，
∵平行四边形，
∴，即，
∴，
把代入直线解析式，得，
∴，
又∵，且，
∴．
②如图，当为平行四边形的左边时，
同理，
把代入直线解析式，得，
∴
又∵，且，
∴，
③如图，当为平行四边形的右边时，作轴于点，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴在和中，，
∴
∴，即的纵坐标为
把代入直线解析式，得，
∴，
又∵，
∴
综上，在x轴上存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形．
此时，点D的坐标为或或．
24．（1）证明：①∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：①由（1）可知，
∴，
∵将沿折叠，得到，点的对应点为点，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②沿折叠得到，沿折叠得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
③如图所示，点三点共线，连接与交于点，沿折叠得到，沿折叠得到，
∴，，，
由（1）可知，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵四边形是正方形，，
∴，则，
在中，，
∵折叠，
∴，
由上述证明可得，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，，
∴点为顶点的四边形面积为．

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