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2024-2025学年八年级数学下册期末专项复习
【考点1 等腰三角形的性质】
1.如图，在中，，，是上一点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，，分别是的中线和高．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．
4.在中，．

(1)是上的高，．
①如图1，如果，则_____°；
②如图2，如果，则_____．
(2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：_____．
(3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【考点2 等腰三角形的判定】
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A． B． C．1 D．
2.如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ．
3.如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，求的度数．
(2)若面积为40，，求的长．
4.如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．若，，，求的周长．
【考点3 等腰三角形的判定与性质】
1.如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点有 （　　　）
A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个
2.如图，的两条高线相交于点；点是的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求的长．
3.如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)当为多少度时，是等腰三角形？
4.如图，在等腰三角形中，，D为延长线上的一点，过点D作，与的延长线交于点E．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)在上截取，连接，判断的数量关系，并说明理由．
【考点4 等边三角形的性质】
1.如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知等边△的边长为，中线，点在上运动，连接，在的右侧作等边△，连接，则△周长的最小值是 ．
4.如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【考点5 等边三角形的判定】
1.下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
2.已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．

3.如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
4.如图，在中，，．

(1)求证：；
(2)若，平分，求出的形状．
【考点6 等边三角形的判定与性质】
1.如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．

A．42 B． C． D．
2.如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
3.如图，在中，，以为边作等边，，分别为，延长线上的点，且、、，则 （用含的式子表示）．
4.如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，．
(1)求的度数；
(2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由．
【考点7 含30度角的直角三角形】
1.如图，在中，点D在上，，，， ，过点E作于点F，若，则为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，是等边三角形，，点D在边上，，过点D作于点E，过点E作于点F，则的长是（　　）
A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6
3.如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为 ．
4.如图，在中，，，，，于点．
(1)求与的度数．
(2)求的长．
【考点8 直角三角形全等的判定】
1.如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为 ．
3.如图，已知和是的两条高线，，交于点O．，，求的度数．
4.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），．
(1)求的度数．
(2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？
【考点9 直角三角形的性质】
1.已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．①②③
2.如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．

3.图，已知，于点G，于点F，且．
(1)求证：；
(2)吗？请说明理由；
(3)若，是什么三角形？
4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．

甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【考点10 勾股定理】
1.如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（ ）
A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3
2.如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
3.已知：在中，，．点、在线段上．

(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
4.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【考点11 勾股定理的逆定理】
1.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
2.如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：_______，_____，_____；
(2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
3.某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片绿化地（四边形），点处放置一雕像，已知，，，，求这片绿化地的面积．
4.若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
(1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
(2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
(3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【考点12 勾股数（树）】
1.满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
2.下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
3.在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ．
4.如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S 分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【考点13 勾股定理的应用】
1.在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ．
2.如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
3.如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为_____cm．
4.如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【考点14 四种命题及其关系】
1.下列命题：
①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ）
A． B． C． D．
3.等腰三角形两底角相等的逆命题是 ．
4.阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
【考点15 线段的垂直平分线】
1.如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则 周长的最小值为（　　）
A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5
2.如图，在中，，，直线l是线段的垂直平分线，交于点D，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交、于点和点．若，则的长为 ．
4.在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，．
(1)求证：；
(2)过作，若，
①证明：；
②求的长（结果不化简）．
【考点16 角平分线】
1.如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2.如图，已知中，点是、角平分线的交点，点到边的距离为3，且的面积为6，则的周长为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．无法确定
3.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线A交于点M，连接，若，，则的长为 ．
4.如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点．
(1)在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点．
【考点17 不等式的基本性质】
1.设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　）
A．207 B．208 C．209 D．239
2.设，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3.若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
4.我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【考点18 解一元一次不等式(组)】
1.小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得．①
去括号，得．②
移项，得．③
合并同类项，得．④
两边都除以，得．⑤
2.（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
3.若关于x的不等式的解集是，那么关于x的不等式的解集是 ．
4.阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，
．
又，
．
．
又，
．　①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是 ；
(2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
【考点19 一元一次不等式(组)的解】
1.关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
2.如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
3.已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
4.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
【考点20 一元一次不等式(组)的整数解】
1.若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ．
2.已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
3.若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ．
4.若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ．
【考点21 一次函数与不等式(组)】
1.数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3.直线：与直线：在同一坐标系里的图像如图所示，当时，x的取值范围是： ．
4.如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)计算四边形的面积．
(3)下列说法正确的有______（填序号）；
①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是；
③关于x的不等式的解集是．
【考点22 一元一次不等式(组)的应用】
1.某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 3台 900元
第二周 3台 5台 1430元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
2.为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
3.某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买2箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需230元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元．
(1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
4.据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【考点23 图形的平移】
1.如图，将沿方向平移得到，若，的周长为，则 度，四边形的周长为 ．
2.在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ．
3.把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
(1)在图中画出三角形；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____；
(3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____．
4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积；
(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴；
(3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标．
【考点24 图形的旋转】
1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，对应点的坐标为，画出平移后对应的；
(2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
2.如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为
3.如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐标系中，面积为8的正方形，如图．
(1)写出A、、、的坐标．
(2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？
(3)将边平移到与重合，怎么平移？
【考点25 中心对称图形】
1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出关于原点O的对称图形并写出点，，的坐标；
(2)的面积为______．
2.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
4.如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
【考点26 中心对称】
1.若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
2.如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．

3.如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
4.如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次．
【考点27 因式分解】
1.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2.因式分解：
(1) (2) (3)
3.已知，则 ．
4.下面是对整式因式分解的部分过程．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
【考点28 利用因式分解进行简算】
1.若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ）
A．100 B．50 C．17 D．3
2.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3.计算： ．
4.用简便方法计算：
(1)； (2)．
【考点29 利用因式分解求值】
1.已知，，则代数式的值是（　　）
A．2 B． C．15 D．
2.已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
3.一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为 ．
4.若，，，则的值为 ．
【考点30 因式分解的应用】
1.如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ．
2.若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
3.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)观察图形，发现代数式可以因式分解为_______；
(2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．
4.如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数S为“和九数”．将“和九数”S的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记．例如：四位数1729，∵，∴1729不是“和九数”，又如：四位数6315，∵，∴6315是“和九数”，．①计算 ；②S为“和九数”，且能被7整除，记，则当取得最大值时，则此时“和九数”S为 ．
【考点31 分式】
1.若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．0
2.若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3.在，，，中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点32 分式的基本性质】
1.下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
2.如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大倍
C．不变 D．缩小到原来的
3.下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
(1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”）
(2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；
(3)将假分式化为带分式．
【考点33 分式的运算】
1.已知：．
(1)当时，比较与的大小，并说明理由；
(2)设，若是整数，求的整数值．
2.先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值．
3.【类比学习】
在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有：
1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如；
2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如；
3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大．
例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数．
【问题呈现】
小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜．
(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，
小强组成的分式中值最大的分式是______．
(2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明．
4.小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法：
方法1：，
原式．
方法2：，将分式的分子，分母同时除以得，
原式
(1)“方法1”中运用了“分式””这一章的数学依据是________；
(2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整．
【考点34 解分式方程】
1.已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
2.已知关于的分式方程．
(1)若这个分式方程的解是，求的值；
(2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
3.对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ；若，则a的值为 ．
4.观察下列等式：
第1个等式；；
第2个等式：；
第3个等式；；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请计算的值；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由；
(3)若，求n的值．
【考点35 分式方程的应用】
1.今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
2.大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？
3.2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？
4.某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
(1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______．
【考点36 平行四边形的性质】
1.如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ．
2.如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接并延长交于点．则的长是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4.如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ．
【考点37 平行四边形的判定】
1.如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作与交于点C
B．在下方作与交于点C，使
C．在上截取，使，连接
D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接
2.如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
4.在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E．
(1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数；
(2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形．
【考点38 平行四边形的判定与性质】
1.如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
3.如图，在中，点D在线段上，点F在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 ．
4.如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，的周长为24，求的长．
【考点39 三角形的中位线】
1.如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
2.如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ．
3.如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ．
4.如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)直接写出与的数量关系．
(3)若，，，求的长．
【考点40 多边形的内角和与外角和】
1.如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能
3.如图，是六边形的四个外角，延长交于点H．若，则的大小为 ．
4.已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ．
参考答案
【考点1 等腰三角形的性质】
1.D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可知，再根据，可得，进一步可得的长．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
故选：D．
2.B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可，熟知三线合一性质是解题的关键．
【详解】解：是的高，
，
，
，
，
是的中线，，
，
，
故选：B．
3.
【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出．
【详解】解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点F是中点，即，
，，
，
，即点A是中点，
，
，
故答案为：．
4.（1）解：①在中，，是上的高，
，
，
，
，
，
是上的高，
．
故答案为：10；
②在中，，是上的高，
，
，
，
，
，
．
故答案为：20；
（2）解：在中，，是上的高，
，
∵
∴，
∵是上的高，
∴
∴
∴．
（3）解：仍成立，理由如下：
，
，
，
又，
，
，即．
【考点2 等腰三角形的判定】
1.B
【分析】先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，然后根据角的和差可得，根据等腰直角三角形的判定可得，最后根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，即，
解得，
，
又，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
，
故选：B．
2.5
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明和全等得，，则，再根据得，由此可得出的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：5．
3.（1）解：∵，
，
∵平分，
∴，
∵为高，
，
．
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.解：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∵是的中点，
∴．
∵，
∴．
由对顶角相等可知：．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴的周长．
【考点3 等腰三角形的判定与性质】
1.C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．利用分类讨论的思想，当，，时分别找到点P即可．
【详解】解：如图，l为长方形的对称轴，即l为的垂直平分线，
∴当P在l上时满足，
作的中垂线交l于，满足；
作与l交于、两点，满足，；
作与l交于、两点，满足，；
∴满足题意的点P共5个，
故选：C．
2.（1）证明：是的高线，
，
．
是的高线，
．
．
在和中
．
（2）解：由（1）可知．
．
．
为中点，
．
，
．
，
．
（3）解：是的高线，
，
在和中，
．
．
由（1）可知．
．
3.（1）证明： ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3）解：设时，是等腰三角形，
，
，
，
①当时，有，
，
解得，即；
②当时，有，
，
解得，即；
③当时，有，
，
，
解得，即；
综上所述， 或或，是等腰三角形．
4.（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：，
理由：，
，
，由（1）知：，
，
，即，
在与中，
，
，
．
【考点4 等边三角形的性质】
1.C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据“”证明，得，推导出，可判断C符合题意，证明是找到符合题意的选项的关键．
【详解】解：根据题意可得不一定成立，
故A不符合题意；
如图1，、分别是、的中点，为等边三角形，
则，
，
，，
，，
，
故仅仅满足时，不一定成立，
故B不符合题意；
在和中，
，
，
，
，
故C符合题意；
根据题意，不一定成立，
故D不符合题意，
故选：C．
2.C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
由是等边三角形，则，，又是的中点，则，然后根据角所对直角边是斜边的一半得，，最后由线段和差即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
故选：．
3.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值．
故答案为：．
4.（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
又，
∴．
（2）∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
【考点5 等边三角形的判定】
1.D
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.等边
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形．
【详解】解：∵中，，，于点，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴为等边三角形．
故答案为：等边
3. 1 无数
【分析】（1）先在中，证明，再利用角所对直角边是斜边的一半即可得答案；
（2）先作辅助线，再利用三角形全等证明只要，就是等边三角形，这样就得到满足条件的三角形有无数个
【详解】（1）∵，平分
∴
∴
又∵
∴
故填：1
（2）解：如图在、上截取，作．
∵平分，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：无数
4.（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【考点6 等边三角形的判定与性质】
1.D
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为点，

，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
折叠后椅子比完全打开时高，
故选：D．
2.C
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点，证明出是等边三角形是解题关键．
由等边三角形的性质可得、，由三等分点可得，再由平行线的性质可得，进而得出是等边三角形且边长为4，即可求出的周长．
【详解】解：∵是等边三角形，且边长为12，
∴，，
∵E，F是边BC的三等分点，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且边长为4，
∴的周长是12．
故选：C．
3.
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在延长线上取点，使得，延长交于点，证明，，，设，则，设，根据含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，进行求解即可．
【详解】解：在延长线上取点，使得，延长交于点．
因为
则为等边三角形．
则：，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
设，则，设，
则，
，
，
，
，，，
∴；
故答案为：．
4.（1）解：在等边 中， ，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解： 是等边三角形． 理由如下：
由 （1）可得 ，
，
，
，
，
是等边三角形．
【考点7 含30度角的直角三角形】
1.C
【详解】过点C作于点H，先根据已知条件求出，从而根据所对直角边等于斜边的一半，求出，然后再证明，从而得到，再设，根据已知条件求出，，然后列出关于x的方程，解方程即可．
本题主要考查了直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握添加辅助线构造全等三角形．
【解答】解：如图所示，过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴，
故选：C．
2.D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3.62
【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，，
两机箱之间的最大宽度为．
故答案为：62．
4.（1）解：，
，
．
，
．
（2）解：由（1），可知．
∵为直角三角形，
，
．
【考点8 直角三角形全等的判定】
1.B
【分析】本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选B．
2.
【分析】本题考查翻折变换，先确定，利用直角三角形两锐角互余，求出，再求出可得结论．解题的关键是掌握翻折变换的性质．
【详解】解：∵将沿折叠，使得点落在边上的点处，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
3.解：，，
，
和是的两条高线，
，，
，，
，
，
的度数是．
4.（1）解： 是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），
，
，
，即，解得，
；
（2）解：、都是“友爱三角形”，
理由： 是中边上的高，
，
，，
，，
在中，，，
，
为“友爱三角形”；
在中，，，
，
为“友爱三角形”．
【考点9 直角三角形的性质】
1.A
【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立．
【详解】∵于M， ，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．，，．
在中，，
∴，结论②正确．
∵，
∴．
，
但无法判定，进而不能确定．结论③错误；
综上，正确的结论是①②，
故选A．
2.10或20
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分情况讨论：当时，当时，由证明直角三角形全等，即可得出结果．
【详解】
分两种情况：
当时，
在和中
；
当时，
在和中
，
综上所述：当点P运动到或20时，与全等，
故答案为：10或20．
3.（1）解：证明：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
4.甲同学：解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
，，
，
，
是角三角形．
乙同学：解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
．
．
又在中，，
，
，
是直角三角形．
故答案为：，，，，，，．
【考点10 勾股定理】
1.C
【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设中边上的高是，利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，利用的面积建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设中边上的高是，
小方格都是边长为2的正方形，
，
，
，
，
故选：C．
2.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
3.（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

4.B
【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解．
【详解】解：，，，，
∴由勾股定理得，
∵将沿翻折，使得点C与点B重合．
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故选：B．
【考点11 勾股定理的逆定理】
1.解：在△BCD中，∵CD⊥AB，
∴BD2＋CD2＝BC2
∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．
∴CD＝12．
（2）在△ACD中，∵CD⊥AB，
∴CD2＋AD2＝AC2
∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．
∴AD＝16．
∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．
（3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，
∴AB2＝BC2＋AC2
∴△ABC是直角三角形．
2.（1）解：由网格得，，，，
故答案为：，，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
3.解：如图，连接，
，，，
，
，，
是直角三角形，
，
，
答：这片绿地的面积是．
4.（1）解：观察数据我们发现：
中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，；
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．
证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
【考点12 勾股数（树）】
1.A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 ，
设，，，
，
，
，，，
不是直角三角形，符合题意．
B、，，，
，即,
为直角三角形．不符合题意；
C、，
，
，
，
，
为直角三角形．不符合题意；
D、，
，
，
为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
2.D
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可
【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、因为，所以5，12，13是勾股数，符合题意．
故选：D．
3.
【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出最大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰直角三角形的腰长为，即中等正方形的边长为，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为，即最小正方形的边长为，计算即可得到答案．
【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为，
，
，
所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为，
，
，
中等正方形的边长为，
同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为，
图③中所有正方形的面积和为，
故答案为：．
4.55
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可．
【详解】解：建立如图的数据，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【考点13 勾股定理的应用】
1.15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设，则，
，
，
故，
解得；．
故答案为：15．
2.70
【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案．
【详解】解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
3.25
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去
故答案为：
4.（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
【考点14 四种命题及其关系】
1.D
【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握课本中的性质定理．
判断是否为真命题，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法可得到答案．
【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确，
即正确的命题有3个．
故选：D．
2.B
【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立．
直接利用反证法的第一步分析得出答案即可．
【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立
第一步应先假设，
故选：B．
3.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到原命题的逆命题．
【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
4.（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法，
故选：B；
（2）证明：若，
∴，这与已知相矛盾，
综上，．
【考点15 线段的垂直平分线】
1.C
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值．
故选：C．
2.A
【分析】本题考查三角形内角和定理，垂直平分线性质，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．结合垂直平分线性质，等腰三角形性质得到，再利用三角形内角和定理得到，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：直线l是线段的垂直平分线，
，
，，
，，
，
故选：A．
3.6
【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以，所以，从而得到，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
【详解】解：连接，如图
∵，，
∴，
由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：6．
4.（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴．
（2）①证明：连接，如图：
∵，
∴，
在与，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：设，
在中，，
故，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
【考点16 角平分线】
1.D
【分析】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：△的角平分线、交于点，
，，
，
，故①正确；
如图1，连接，作于点，于点，
平分，平分，交于点，且于点，
，
，
，故②错误；
如图2，在上截取，连接，
，
，
，
在△和△中，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
，
，
，故③正确，
故选：D．
2.B
【分析】根据题意过O分别作，连接OB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出进行分析即可.
【详解】解：由题意过O分别作，连接OB如图所示：
∵点是、角平分线的交点，
∴，
∵点到边的距离为3，即,的面积为6，
∴,
∴，即的周长为4.
故选：B.
3.6
【分析】本题考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，作于，由题意可得，，，从而可得平分，，求出，得出，求出，得出，进而可得，即可得解．
【详解】解：如图，作于，
，
由题意可得：，，，
∴平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4.（1）解：如图，点G为所求．
（2）解：连接，
由作图可得平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴是中点．
【考点17 不等式的基本性质】
1.A
【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解： ，是整数，
的最大值为；
，是整数，，
的最大值为；
，为整数，
的最大值为；
，为整数，，
的最大值为，
故选：A．
2.D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，
即，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，符合题意；
故选：．
3.
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【详解】解：由题可知，，
解得：，
故答案为：．
4.①③④
【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键．
根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答．
【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【考点18 解一元一次不等式(组)】
1.解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
2.解：（1）
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得
该不等式组得解集为，
非正整数解为，0．
3.
【分析】本题是一个方程与不等式的综合题目．由关于x的不等式的解集是，知且，据此得出，且，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式的解集是，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
关于x的不等式可化为，
解得：
故答案为：．
4.（1）解：，
．
又，
．
．
又，
．　①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：解方程组得，，
，
，
，，
，，
解得，，
则，
．
【考点19 一元一次不等式(组)的解】
1.
【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围．
【详解】解：
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得．
由题意可知，
解得．
故答案为：
2.
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，即可得到的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
关于的一元一次不等式组的解集是，
，
解得，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得，；
故答案为：．
4.7
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数．
【详解】解：方程组的解为 ，
，
，
解得，，
解不等式组，
不等式①的解集是，
不等式②的解集是，
∵不等式组有解，
∴，
解得，，
，
∵a取整数，
，
∴符合条件的整数a有7个．
故答案为：7．
【考点20 一元一次不等式(组)的整数解】
1.
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
【详解】解，
解①得，
解②得，
则不等式组的解集是．
∴，
∴，
∵不等式组有1个整数解，则整数解是0．
∴，
解得：
综上：，
故答案是：
2.2
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不等式的最大整数解为2，
关于的方程的解是，
，
，
故答案为：2．
3.
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4.或
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组，
解得：，
∵所有整数解的和是9，且或，
∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，
∴或；
故答案为：或．
【考点21 一次函数与不等式(组)】
1.C
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
所以关于x的不等式的解集是，
所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合．
故选：C．
2.A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集
故选：A．
3.
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数与的交点是，
∴当直线在直线上方，且都在x轴上方时，
∴当时，x的取值范围是：．
故答案为：．
4.（1）解：∵一次函数图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数图象经过点和，
∴，
解得，
∴一次函数；
（2）解：设交y轴于点D，
当时，，
∴，
∴，
∵中，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：观察图象，
①关于x的不等式的解集是，
说法不正确；
②关于x的方程的解是，
说法正确；
③关于x的不等式的解集是，
说法正确．
综上，正确的说法是②③；
故答案为：②③
【考点22 一元一次不等式(组)的应用】
1.（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元；
（2）解：能；
设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台，
，
解得：，
∵a为整数，
或．
方案有两种：
方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；
方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台．
2.解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得
由①得：，
将代入②，得，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵是正整数，
∴全班至少有25人，至多有27人．
3.（1）解：设A种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元．
根据题意，得，
解得．
∴A种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元．
（2）解：设购买A品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶箱．
根据题意，得，
解得，
设总费用为W元，则，
，
随x的增大而减小，
，
当时，W值最小，，（箱）．
∴购买A品牌的牛奶15箱，B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元．
4.（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
根据题意，得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
【考点23 图形的平移】
1.
【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，由平移的性质可得，再由三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，据此根据平行线的性质可得的度数；根据三角形周长计算公式可得，再由四边形周长计算公式求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵的周长为，
∴，
∴四边形的周长
，
故答案为：；．
2.
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标．
【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点，
∴向上平移2个单位后得到点，
故答案为：．
3.（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）解：在平移过程中，线段扫过的面积为．
故答案为：15．
（3）解：或．设点的坐标为，
三角形与三角形面积相等，
，
解得或4，
点的坐标为或．
故答案为：或．
4.（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，
∴， ，
，；
∴
连接记与轴的交点为点，如图所示：
∴，
∴四边形的面积为．
（2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同，
即，
解得，
点同时出发，秒后轴；
（3）解：设点的坐标为，
，
当在的左侧时，
，
解得，
此时；
当在到3之间时，
，
解得，
此时；
当在3的右侧时，
，
解得（舍）．
综上所述，点的坐标为或．
【考点24 图形的旋转】
1.（1）解：如图所示：为所求，为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴旋转中心坐标为．
2.
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，先证明为等边三角形得到，再证明是等边三角形得到，再根据勾股定理求得，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
根据旋转的性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
根据勾股定理，得，
∴，
∴点与点B之间的距离为，
故答案为：．
3.A
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，斜边中线等于斜边一半；设与轴相交于点，由旋转可得是斜边长为等腰直角三角形，，即得，，进而根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设与轴相交于点，
∵是斜边长为等腰直角三角形，将绕原点顺时针旋转得到，
∴是斜边长为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故选：．
4.（1）解： 正方形的面积为8，
，，
，
，，，；
（2）解：边绕某点旋转到与重合，，，
线段绕点顺时针旋转与线段重合；
（3）解：边平移到与重合，，，
把线段先向右平移2个单位，再向下平移2个单位与线段重合．
【考点25 中心对称图形】
1.（1）解：如图，即为所求．
由图可得，，，
（2）解：的面积为
故答案为：
2.B
【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；
根据中心对称图形的定义即可求解；
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：B
3.C
【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种．
故选：C．
4.解：（1）图中是中心对称图形的有六角星，八角星；
（2）由（1）知六角星，八角星，十角星，都是中心对称图形，由此可知，当角的个数为偶数个时，它是中心对称图形，因此36角星也是中心对称图形；
（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；
当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【考点26 中心对称】
1.2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
2.1
【分析】根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，，
∴，，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故答案为：1．
3.
【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，，
∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，
∴必过点A，必过点B，且，
∴，
由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，
故答案为：
4.
【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步，
故答案为：．
【考点27 因式分解】
1.D
【分析】本题考查因式分解的意义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、不是因式分解，不符合题意；
C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
2.（1）解：
，
；
（2）解：
；
（3）解：
，
．
3.48
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．将代数式因式分解后，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
4.（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；
（2）解：原式（第四步）
（第五步）
（3）解：
．
【考点28 利用因式分解进行简算】
1.D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
2.D
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
3.
【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
4.（1）解：
（2）解：
【考点29 利用因式分解求值】
1.D
【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵
，
∵，，
∴，
故选：D．
2.
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
则．
∵，
∴，
可得．
∵，
∴，
∴，
即．
∴．
故答案为：．
3.
【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．
【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，
∴，，
即，
则原式，
故答案为：12．
4.
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
【考点30 因式分解的应用】
1.900
【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，，结合题意得出，求出，，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
2.C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式和合并同类项法则进行化简，得出，然后进行判断即可．
【详解】解：
．
和中必有一个为偶数，
一定能被6整除．
故选：C．
3.（1）解：由图可知：表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：，
∴；
故答案为：；
（2）解：由题意，得：，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，，
解得：，
∴所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为：．
4. 259 8129
【分析】本题考查了新定义，整式的运算，因式分解的应用，解题的关键是：
①直接根据新定义求解即可；
②先根据新定义求出，进而求出，然后根据能被7整除，得出是7的倍数，再分类讨论即可．
【详解】解：①∵，
∴2713是“和九数”，
∴，
故答案为：259；
②由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∵能被7整除，
∴是7的倍数，
∴当时，，，
∴，
当时，，；或，，
∴或，
当时，，，
∴
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
当时，，，或，，
∴，或，
∴的最大值为，
当d取最大值为9时，的最大值，此时
故答案为：8129．
【考点31 分式】
1.A
【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为为分子为零、分母不为零成为解题的关键．
根据分式为零的条件进行计算即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得：．
故选A．
2.D
【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：分式有意义，
，
解得：，
故选：D
3.B
【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可得到答案．
【详解】解：根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，
故，为分式，
故选B．
4.C
【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．
【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【考点32 分式的基本性质】
1.D
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；
B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；
C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；
D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
2.A
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答．
【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得：
，
那么分式的值缩小到原来的，
故选：A．
3.D
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意，
B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意，
C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意，
D、，即D项符合题意，
故选：D．
4.（1）解：由题意得，分式是真分式；
（2）解：；
∵的值是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴或，
∴或或或；
（3）解：
．
【考点33 分式的运算】
1.（1）解：．理由如下：
依题意， ，
，
，
．
（2）解：∵．
∴
均为整数，
的值为，，
∴的值为，
即
得；
即
得；
即
得；
即
得；
的整数值为4或或或．
2.解：
，
∵，，
∴且，
又∵m为满足的整数，
∴或1，
当时，原式，
当时，原式．
3.（1）解：解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是
小强组成的分式中值最大的分式是
故答案为：，．
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：
当x是大于的正整数时，
∴
∴
∴，故小强说的有道理
4.（1）解：“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
（2）解：原式，
，
原式 ．
【考点34 解分式方程】
1.3
【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答．
【详解】解：，
去分母得：，
解得，，
因为方程无解，即，
解得，，
即，
得：．
故答案为：3．
2.（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
解得；
（2）解：去分母，得，
解方程，得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且．
3. 1 2
【分析】本题考查新定义运算的含义，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．运用定义运算代入计算可得，再计算即可；运用定义运算代入得到，求解这个分式方程即可，注意检验．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
的值为．
故答案为：；
4.（1）解：由题知，
因为第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…，
所以第n个等式可表示为：，
当时，
；
（2）解：由（1）知，
猜想第n个等式为：，
理由如下：
左边
右边，故此等式成立．
（3）解：由题知，
，
，
，
，
则，
因为，
所以，
解得
当时，，
所以是原分式方程的解，
故n的值为．
【考点35 分式方程的应用】
1.（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴，
答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元；
（2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴或13，
故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套．
2.解：设小军所乘坐的高铁速度为，则小明所乘坐的高铁速度为，由题意得，，
解得，
经检验原分式方程的解为，
，
答：小明和小军所乘坐高铁的速度分别是．
3.解：设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，依题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：施工队原计划每天修建保通便道10米．
4.（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意可得，
，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意；
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
（2）①根据题意可得，
解得
答：的值为；
②设购入件甲种商品，总费用为元，
根据题意可得，，
∵的值与无关，
∴，
解得，
∴（元）
故答案为：
【考点36 平行四边形的性质】
1.68
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，先根据平行四边形的性质，利用证明，设，，则，然后根据勾股定理表示，然后整体代入计算解题．
【详解】解：过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，，
∴，
∴
，
故答案为：68．
2.B
【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的平分线，得，由平行四边形的性质得，，即得，得到，即可得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可得，是的平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：.
3.（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
、的平分线、分别与相交于点、，
，
；
（2）解：如图，过作，交于点，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
4.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
∴，
故答案为：．
【考点37 平行四边形的判定】
1.D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定．
根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意；
B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意．
故选：D．
2.
【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由题目的已知条件可知添加，即可证明，从而进一步证明，且，进而证明四边形为平行四边形．
【详解】解：条件是：，
理由如下：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
3.B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个．
故选：B．
4.（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵点F是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，和为等边三角形，
∴，，
∵点F为的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【考点38 平行四边形的判定与性质】
1.C
【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，故②正确；
取的中点N，连接，如图所示：
则，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，故④错误；
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故选：C．
2.（1）证明：是等边的BC边上的高，
，
，

，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：
．
为等边三角形，
．
，
，

四边形的周长为．
3.24
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形的面积等知识，连接，过A作交的延长线于点M，证四边形是平行四边形，再证，设平行四边形的边上的高为h，则，然后证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过A作交的延长线于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵边上的高和的边上的高相同，
∴，
同理：，
∴S△BDE+S△ADES平行四边形ACFM=6，
∴，
设平行四边形的边上的高为h，
则，
∵，
∴，
∴，
故答案为：24．
4.（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
设，则，
∴，．
∵的周长为，
∴，
在中，，
∴．
解得：

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