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第6章《平行四边形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
2．如图，在正五边形的内部，以边为边作等边三角形，连接，则度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，，平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
6．如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
7．如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）
A．6 B．8 C．10 D．13
10．如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（ ）
A．30 B．15 C．40 D．20
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上， ，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以点D、点E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 F，过点O作射线，交于点P，则点P的坐标为 ．
12．已知点，，，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
13．已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ．
14．如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则
15．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
16．如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）已知：如图，为对角线上的两点，且___________．求证：四边形是平行四边形．请你在①；②；③中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明．
18．（6分）请看图解答下列问题：
(1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？
(2)小华求的是几边形的内角和？
19．（8分）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，平分，则的长为________．
20．（8分）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，为的中点，求的度数．
21．（8分）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形；
(3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）．
22．（8分）【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．
【问题解决】
(1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数；
(2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”．
①若是等腰三角形，求的度数；
②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）．
23．（8分）综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ，
（2）请直接写出与之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想 若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积．
参考答案
选择题
1．D
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选D．
2．C
【分析】根据等边三角形的性质得，，根据正多边形的性质及内角和得，，继而得到，，再根据等边三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴度数是．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∵，平分，
∴，
又，
∴，故B正确，不符合题意；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
如图，过点E作，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案．
【详解】解：如图，在上取点，使得，连接，
则，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．C
【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
故选：C．
6．C
【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案．
【详解】
过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E
∵在中，AO=OC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可
【详解】解：∵，即且
∴四边形是平行四边形，
∴故①正确；
∵
∴
∴
∵
∴
又，即
∴四边形是平行四边形，
∴故②正确；
设间的距离为，
∴
∴故③正确；
又
∵
∴故④正确；
综上，正确的绪论是①②③④，共4个，
故选：D
8．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，规律探究图形的变化规律，发现规律是解题的关键．
罗列前十次发现规律，利用规律解答第2025次后动点的位置即可．
【详解】解：∵点，，分别是边长为2的等边三边的中点，
∴，
第一次移动到点，
第二次移动到点，
第三次移动到点，
第四次移动到点，
第五次移动到点，
第六次移动到点，
第七次移动到点，
第八次移动到点，
第九次移动到点，
第十次移动到点，
，
每9次一循环，
，
第2025次移动后动点的位置是点．
故选：A．
9．B
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
10．B
【分析】由题意先根据ASA证明△ADF≌△ECF，推出，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF⊥AE．设AF=x，BF=y，由∠ABF＜∠BAF可得x＜y，进而根据勾股定理以及△ABE的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，
∴∠DAF=∠E．
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴，
∴．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠DAF=∠E，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE，
∴BF⊥AE．
设AF=x，BF=y，
∵∠D为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D是钝角，
∴∠D＜∠DAB，
∴∠ABC＜∠DAB，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，x＜y．
则有，解得：或（舍去），
即AF=15．
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】延长交y轴于点G，根据平行四边形的性质可得，从而可得轴，再根据直角三角形的性质可得，，利用勾股定理求得，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，可得，即可求解．
【详解】解：延长交y轴于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意得，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．，，
【分析】根据题意画出图形，由平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标．
【详解】解：①当如图1时，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四边形ABMC是平行四边形，
∴M（3，2）；
②当如图2所示时，同①可知，M（-3，2）；
③当如图3所示时，过点M作MD⊥x轴，
∵四边形ACBM是平行四边形，
∴BD=OA=1，MD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴M（5，-2）；
综上所述，点M坐标为（3，2）、（-3，2）、（5，-2）.
13．164
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、多边形的内角与外角的关系构造等边三角形、根据等边三角形的三边相等的性质求解成为解题的关键．
延长并反向延长、、，构成一个等边三角形，再利用六边形的各边和周长与各边的关系列出等量关系是，即可解出．
【详解】解：如图，分别延长、，相交于点G，分别延长、，相交于点H，分别延长、，相交于点M．
，
∵六边形的每个内角为，，，，，
∴六边形每个外角为，
∴、、、都是等边三角形，
，，，
，
设，，
，
，
即，
；
故答案为：164．
14．9
【分析】延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．证明，得出，得出，再通过平行四边形的性质证明为中点，，再证明，，得出，再证明，证出为等边三角形，得出，即可求解；
【详解】解：延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．
，
，
，
O为中点，
，
延长使得，连接，
∵，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：9．
15．3
【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，
可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个．
故答案为：3．

16．
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．
【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是，，
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a，
∴CF×hCF＝a，
∴阴影部分的面积是CF×hCF＝ a＝，
故答案为：
三．解答题
17．解：添加：①，理由如下：
如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加：②；理由：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加：③，
由②得，，
不能证明，
∴不能证明四边形是平行四边形．
18．（1）解： ．
又多算了一个外角，
外角度数为；
（2）解：由（1）可知多边形内角和为
设小华求的是边形内角和，
，
解得：，
小华求的是十三边形的内角和．
19．（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：4．
20．（1）证明：∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵是沿折叠得到，
∴，
∴
21．（1）解：如图，
∵
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴
∴．
（2）证明：取的中点H，连接，，
由（1）可知：四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图，
∵，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴
．
22．（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）①∵四边形是“对角互补四边形”，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，
∴（不符合题意，舍去），
当时，
∴，
∴；
当时，
∴，，
∴．
综上所述：的度数为或；
②如图②，过点B作于G，于H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．解：（1），理由如下，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，
故答案为：，
（2）证明：∵E，H分别为，中点
∴．，
∵F，G分别为，中点
∴，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形，
（3）由题意得；
（4）能，如图所示，连接对角线，交于点O，
过点D作的平行线，过点B作的平行线
过点A作的平行线，过点C作的平行线
四边形即为所求，

（5）过H作于点M，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．

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